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Sia m un intero positivo, e sia $a_n$ la successione definita per ricorrenza da
$a_0=\frac{m}{2}$, $a_{n+1} = a_n⌈a_n⌉$
dove $⌈a_n⌉$ indica il più piccolo intero maggiore od uguale di $a_n$.
(a) Determinare tutti gli interi $m$ per cui il primo intero che compare nella successione è $a_{2008}$.
(b) Determinare tutti gli interi $m$ per cui nessun numero intero compare nella successione.

provo a dare una soluzione del primo punto, spero di essere abbastanza chiaro:
partiamo da $a_0=\frac{m}{2}$ che affinchè non sia intero è necessario che $m$ sia dispari. Quindi pongo $m=2a+1$.
vediamo ora $a_1$. dato che $\frac{2a+1}{2}$ può essere anche scritto come $a+\frac{1}{2}$ risulta chiaro che il più piccolo intero maggiore uguale, essendo $a$ un intero, è $a+1$. Quindi $a_1=\frac{(2a+1)(a+1)}{2}$. Affinchè $a_1$ non sia intero, $a+1$ deve essere dispari, perciò poniamo $a=2b$ e la quantità diventa $a_1=\frac{(4b+1)(2b+1)}{2}$ che non è mai un intero. Ricordo che per i cambiamenti fatti $m=2^2 b+1$.
vediamo ora $a_2$. Svolgendo i calcoli $a_1=\frac{8b^2 +6b+1}{2}$ e posto $4b^2 + 3b=f(b)$ segue che $a_1=f(b)+\frac{1}{2}$. Per il solito ragionamento il più piccolo intero maggiore uguale è $f(b)+1$ e quindi $a_2=\frac{(2f(b)+1)(f(b)+1)}{2}$. Per il ragionamento fatto per $a_1$, affinchè $a_2$ non sia intero $f(b)$ deve essere pari il che, dato $4b^2 + 3b=f(b)$, implica $b=2C$. Quindi $m=2^3 c+1$.
continuando così per tutti gli $a_i$, si arriva a dire che affinchè $a_{2007}$ non sia intero si deve avere $m=2^{2008}x+1$. Segue che $a_{2008}=\frac{(2f(x) +1)(f(x)+1)}{2}$. affinchè questo sia intero $f(x)$ deve essere dispari, quindi $x$ deve essere dispari.
la soluzione che esce è quindi $m=2^{2008} (2y+1) +1=2^{2009} y + 2^{2008} + 1$ sulla cui correttezza ho molti dubbi.

Giusto!
Si faceva meno bovinamente con congruenze(senza il bisogno di sostituire) + induzione, ma peso che vada bene il procedimento.
E il secondo punto? Sono sicuro che ci arrivi subito dopo aver fatto il punto (a)

Per il punto b direi che non c'è nessun m che soddisfa la condizione.
Perché $m$ deve essere dispari quindi della forma $m=2b_1+1$ per il ragionamento di Fleuret se $a_2$ non è intero allora $b_1$ deve essere dispari. Per induzione dico che, se nessun $a_i$ è intero, allora $m$ deve essere una composizione di infiniti numeri dispari, quindi non esiste un numero intero richiesto.
(se m fosse irrazionale allora soddisferebbe la seconda condizione!)
è corretto?

Usando un'induzione si può dimostrare che affinchè l'n-esimo termine sia il primo intero deve essere $m=2^{n+1}d+1$ con $d$ dispari. Se vogliamo che non ci siano interi $m$ deve essere congruo a 1 a tutte le potenze di 2 esistenti, e quindi va bene solo 1.
@paga92aren: non ho ben capito il tuo ragionamento...