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$ \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} = \frac{b}{x-a}+\frac{a}{x-b} \Rightarrow \frac{ax-a^2+bx-b^2}{ab} = \frac{bx-b^2+ax-a^2}{x^2-(a+b)x+ab} \Rightarrow [x^2-(a+b)x][(a+b)x -a^2-b^2]=0 $ che è soddisfatta per $ x=0, x=a+b, x = \frac{a^2+b^2}{a+b} $ se e solo se $ a\neq 0, b \neq 0, b +a \neq 0 $. Se non sono rispettate tali condizioni, l'equazione originaria perde di significato.

$\frac{x-a}{b}-\frac{b}{x-a}=\frac{a}{x-b}-\frac{x-a}{b}$ sommo le frazioni e scompongo il numeratore $\frac{(x-a+b)(x-a-b)}{b(x-a)}+\frac{(a+x-b)(a-x+b)}{a(x-b)}$
noto che da entrambi i membri compare $x-a-b$ e la prima soluzione è $x=a+b$.
Rimane:$0=\frac{x-a+b}{b(x-a)}+\frac{x-b+a}{a(x-b)}=\frac{1}{b}+\frac{1}{x-a}\frac{1}{a}+\frac{1}{x-b}=\frac{x}{a(x-a)}+\frac{x}{b(x-b)}$ Da cui la soluzione $x=0$ e rimane $\frac{(b+a)x-(a^2+b^2)}{(x-a)(x-b)}=0$ da cui N=0 $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}$