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Vorrei presentarvi un dubbio che mi assilla in questi giorni: su una superficie equipotenziale, è chiaro a tutti che il campo elettrico in ogni punto della superficie stessa debba essere perpendicolare. Ma per quanto concerne il modulo del campo elettrico? Posso dire che esso è costante lungo tutta la superficie equipotenziale? Gli esempi favorevoli a questa proposizione sono ovviamente quei campi elettrici generati dalla carica puntiforme, del piano infinito di carica... e sicuramente se ne possono trovare altri. Inoltre aggiungo che il campo elettrico all'interno di un conduttore ha modulo costantemente nullo e che ogni superficie interna al conduttore è equipotenziale. La mia domanda è: questo vale per ogni distribuzione di carica? Se sì, come faccio a dimostrarlo?

mi viene da pensare alle punte metalliche: equipotenziale ma forte campo

E' facile osservare qualitativamente che il campo elettrico all'esterno del conduttore nel vuoto dipende dalla forma di questo, poichè in base all'effetto punta si costruiscono molti tipi di acceleratori di particelle ancora usatissimi, ad esempio gli acceleratori tandem Van der Graaf.
Teoricamente puoi immaginare di prendere una parte infinitesima del conduttore e considerarlo come parte di una sfera minuscola di raggio R. Ora il potenziale sarà dato da:
$ V= q/4\pi \epsilon R $
ma se definiamo $ \sigma $
allora
$ V= \sigma 4\pi R^2/4\pi \epsilon R $ il che ci porta a $ V=\sigma R/\epsilon $
Ora se consideriamo una seconda sfera di raggio diverso ma sempre infinitesima da qualunque altro punto del conduttore, avremo che il potenziale dell'una e dell'altra è uguale. Uguagliando i due potenziali si ha:
$ \sigma _1 /\sigma _2=R_2/R_1 $
il che ci porta a dire che laddove il conduttore si restringe e il raggio diventa più piccolo, $ \sigma $ aumenta e di conseguenza anche il campo elettrico, per la legge di Coulomb.

Per il tuo secondo quesito, se non ci sono campi esterni che interagiscono con il campo prodotto o nullo del conduttore allora la distribuzione di carica deve necessariamente essere una ed una soltanto. Questo è una conseguenza, se la vuoi vedere sotto una prospettiva matematica, dell'equazione di Laplace che consente una sola soluzione. Se la soluzione non fosse unica allora la distribuzione di carica ,che porterebbe ad una superficie equipotenziale e campo nullo all'interno del conduttore, non sarebbe unica. e allora siamo nei guai