OliForum Matematico

"La funzione di Riemann è così definita.
Vale zero sui numeri irrazionali,mentre f(p/q) = 1/q con la frazione p/q ridotta ai minimi termini.
1.Studiare la continuità di f
2.Dimostrare che è integrabile secondo Riemann
3.Quante volte assume il valore 1/315000 tra zero e 1?"

Ho saputo che tale esercizio era stato dato nei giochi olimpici, ma cercando un po' negli archivi non l'ho ancora trovato..qualcuno l'ha mai visto?

P.s. Mi preme soprattutto vedere la soluzione del numero 3.

guarda, io ti posso dare solo la risposta n° 3, che dovrebbe essere phi di 315000, che dovrebbe essere 4*500*6*6=72000

Perfetto grazie per la risposta il risultato veniva così anche a me... sapresti generalizzarmi tale risposta con una formula?? Cioè nel senso che se invece di 315000 ho un altro numero "Q" e la metto come incognita, quanti 1/Q trovo??
p.s. perchè proprio 4500*6*6?

Per i primi 2 punti qualcuno ci vuole provare??

Il risultato è phi di Q, ovvero la funzione di Eulero
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%CF%86_di_Eulero

Grazie mille, prima non avevo capito bene chi era il tuo phi..

Dato che questo problema è irrisolto da un bel po' di tempo volevo riproporlo per cercare di chiudere definitivamente il conto coi primi due quesiti.. qualcuno c'ha idea di come si procede?

1) per l'approssimazione diofantea per ogni numero irrazionale $\alpha$ esiste un numero razionale $\frac{p}{q}$ vicino a piacere a $\alpha$.
Per ogni numero razionale la funzione è discontinua: infatti $f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q}$ e $f(\alpha)=0$ quindi basta scegliere un'intorno $\epsilon < \frac{1}{q}$.
Per ogni numero irrazionale la funzione è continua: infatti prendo $q>\frac{1}{\epsilon}$ e l'intervallo di centro $\alpha$ e di ampiezza 1. I numeri che appartengono all'intervallo e non soddisfano la condizione $|f(x)-0|<\epsilon$ sono al più $\sum_{i=1}^{q}\phi (i)$ (sono in numero finito) quindi posso prendere un'intervallo $I$ che abbia centro $\alpha$ e che non contenga nessuno di questi numeri. Ogni numero dell'intervallo $I$ soddisfa la condizione di continuità.

2) non avendo ancora studiato a scuola la definizione di integrale di Riemann allora mi riferisco alla definizione 1.1 di di questo documento.
La funzione è integrabile se $\sup s(P,f)=\inf S(P,f)$ dove $f$ è la funzione di Riemann, $P$ una qualsiasi partizione dell'intervallo $[a,b]$, $s$ l'area per difetto e $S$ l'area per eccesso. Per un qualsiasi intervallo il valore minimo della funzione è 0 quindi l'area per difetto è sempre nulla ($s(P,f)=0 \; \forall P$). Devo dimostrare che $\inf S(P,f) =0$ che è vero se e solo se $\exists P$ tale che $S(P,f)<\epsilon$.
L'area per eccesso la approssimo a un rettangolo di base $b-a$ e altezza $\frac{1}{q}$, di questa zona fanno parte tutti i punti tranne $(\lfloor b-a \rfloor +1)\sum_{n=1}^{q-1} \phi (n)$ punti. Per ogni punto $x$ aggiungo un'area di base $\frac{1}{q^3}$ e altezza $f(x)-\frac{1}{q}$ in modo tale che l'area per eccesso è minore dell'area $A$ formata dall'unione di tutti i rettangoli ($S(P,f)<A$). $A<\frac{b-a}{q}+(\lfloor b-a \rfloor +1)\sum_{n=1}^{q-1}\phi (n)\frac{1}{q^3}<\frac{b-a}{q}+(\lfloor b-a \rfloor +1)\sum \phi (q) \frac{1}{q^3}<\frac{b-a}{q}+(\lfloor b-a \rfloor +1)\frac{q^2}{q^3}<\frac{2(b-a)+1}{q}$
mi basta scegliere $q>\frac{2(b-a)+1}{\epsilon}$ e dividere il segmento $[a,b]$ in $q^3$ parti uguali per avere $S(P,f)<\epsilon$.

Domanda: esiste l'integrale indefinito di $f$?
Ci ho ragionato e mi sembra che non esista, infatti $\int_a^bf(x)\;dx=\int f(b)\; dx-\int f(a)\; dx=0$ da cui $\int f(a) \; dx =\int f(b)\; dx=k$ quindi derivo e ottengo che $f(x)=0$ che è assurdo.

Qualcuno può dirmi se le mie due dimostrazioni sono giuste? grazie