Pigeonhole
Inviato: 17 dic 2010, 16:20
Ciao a tutti! Ho alcuni problemi con i seguenti quesiti:
1) [Engel, problema 12 pag.60] Se nessuno dei numeri $ a, a+d, a+2d,..., a+(n-1)d $ è divisibile per n, allora n e d sono coprimi.
Il mio dubbio è: a=1, d=6 e n=3 soddisfano la richiesta ma d e n non sono coprimi..
2) [Engel, problema E6 pag.61] Provare che per ogni $ n \geq (p-1)(q-1)+1 $ una sequenza di n interi contiene o una sequenza monotona crescente di lunghezza p o una decrescente di lunghezza q.
Nella soluzione si chiamano $ L_m / R_m $ rispettivamente le lunghezze delle più grandi serie crescenti/decrescenti che finiscono/iniziano con l'elemento m, e si asserisce che per ogni coppia di numeri m,k si ha che $ L_m \neq L_k $ o che $ R_m \neq R_k $.
Il mio dubbio qui è: Nella serie 1,2,3,...,49,51,50,52,53,...101 scelgo m=51 e k=50, mi sembra che $ R_{51} = R_{50} $ e che $ L_{51} = L_{50} $
Grazie in anticipo a chi mi saprà aiutare!
1) [Engel, problema 12 pag.60] Se nessuno dei numeri $ a, a+d, a+2d,..., a+(n-1)d $ è divisibile per n, allora n e d sono coprimi.
Il mio dubbio è: a=1, d=6 e n=3 soddisfano la richiesta ma d e n non sono coprimi..
2) [Engel, problema E6 pag.61] Provare che per ogni $ n \geq (p-1)(q-1)+1 $ una sequenza di n interi contiene o una sequenza monotona crescente di lunghezza p o una decrescente di lunghezza q.
Nella soluzione si chiamano $ L_m / R_m $ rispettivamente le lunghezze delle più grandi serie crescenti/decrescenti che finiscono/iniziano con l'elemento m, e si asserisce che per ogni coppia di numeri m,k si ha che $ L_m \neq L_k $ o che $ R_m \neq R_k $.
Il mio dubbio qui è: Nella serie 1,2,3,...,49,51,50,52,53,...101 scelgo m=51 e k=50, mi sembra che $ R_{51} = R_{50} $ e che $ L_{51} = L_{50} $
Grazie in anticipo a chi mi saprà aiutare!
): "Siano $d,n$ due interi naturali tali che $(d,n)=1$. Si provi che $0, d, 2d,...,(n-1)d$ formano un sistema completo di residui modulo $n$".