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Sia $ n \in \mathbb N $: dimostrare che $ 2^{n-1} $ divide
$ \displaystyle \sum _{0\leq k<n/2} \binom {n} {2k+1} 5^k $.

Vediamo se sono ancora capace di fare qualcosa:

Ho che $ \displaystyle{S_n:=\sum_{0<k\le \frac{n}{2}} \binom{n}{2k+1}5^k = \frac{1}{2\sqrt{5}}\left({(1+\sqrt{5})}^n-{(1-\sqrt{5})}^n\right)} $, e da qui è facile vedere che
$ \left\{\begin{array}{l} S_0 = 0 \\ S_1 = 1 \\ S_{n+2}=2S_{n+1}+4S_{n} \end{array}\right. $
E la tesi segue per induzione.