OliForum Matematico

Sono dati $n$ pianeti nello spazio, con $n$ intero positivo. Ogni pianeta è una sfera perfetta di raggio $r>0$. Un punto di un pianeta è detto privato se non può essere visto da nessun punto di tutti gli altri pianeti (un punto "vede" un altro punto se esiste un segmento che unisce questi due punti e che non passi attraverso la superficie di un pianeta). Si assuma inoltre che i pianeti non si tocchino fra di loro. Al variare di $n$ qual è l'area privata totale tra tutti i pianeti?

Ma che figo

ma non dipende anche dal raggio del pianeta? o lo vuoi in percentuale?

mi verrebbe da dire che la soluzione è Non so se è giusto.

Ma i pianeti hanno tutti lo stesso raggio? o non è detto?

paga92aren ha scritto:ma non dipende anche dal raggio del pianeta? o lo vuoi in percentuale?

Non capisco che significa "in percentuale". La risposta che cerco è la misura di un'area.

spugna ha scritto:Ma i pianeti hanno tutti lo stesso raggio? o non è detto?

OGNI pianeta è una sfera perfetta e ha raggio $r$; quindi hanno tutti lo stesso raggio.

La soluzione di Mike è sbagliata.

in effetti io avevo considerato i raggi differenti. Se tutti i raggi sono uguali allora direi che la somma delle aree è equivalente alla superficie di un singolo pianeta...

Ok però dimostrazione!

Non ho capito una cosa: come farebbe il segmento a non attraversare nessuna superficie? Se il punto è interno alla sfera per collegarsi a un punto di un altro pianeta deve passare dalla superficie del primo pianeta e da quella del secondo...

La "vista" avviene da un punto sulla superficie di un pianeta a un punto sulla supercifie di un altro pianeta. Il segmento che unisce i due punti deve avere gli estremi proprio su questi punti. Spero che cosi sia chiaro.

ndp15 ha scritto:La "vista" avviene da un punto sulla superficie di un pianeta a un punto sulla supercifie di un altro pianeta. Il segmento che unisce i due punti deve avere gli estremi proprio su questi punti. Spero che cosi sia chiaro.

ah ok, i punti si trovano sulla superficie

Come sempre risolvo la parte banale ^^
Quando abbiamo 3 pianeti, uniamo i 3 centri si forma un qualsiasi triangolo, abbiamo che" l'angolo" in ombra di ogni pianeta è uguale alla somma degli altri due angoli del triangolo( la dimostrazione è banale) quindi quando abbiamo 3 pianeti la somma degli angoli in ombra è 2 volte la somma deglio angoli: 360.
Quando tutti gli n(>4) pianeti sono complanari, uniamo i centriin modo da formare un poligono , quando questo è concavo, abbiamo che i pianeti che formano gli angoli concavi non hanno punti privati quindi possiamo non cosiderarli, e considerare solo i casi in cui abbiamo poligoni convessi, quindi i punti privati di ogni pianeta dipendono solo dei due vertici accanto ad esso. Per calcolare "l'angolo dei punti privari" uniamo per ogni vertice i vertici adiacenti formando così un triangolo, facendo questa operazione per tutti i vertici, otterremo una "stella LoL" costituita da un poligono con lo stesso numero di lati al centro con triangoli formati dalle diagonali prima tracciati su ogni lato, gli angoli di questi triangoli che sono anche angoli del poligono non vengono contati, questi valgono $(180n-360\cdot2)$ che sottratti alla somma degli angoli interni 180(n-2) da 360.
Ora bisogna completare con la parte sostanziale delle esercizio ^^ quando non sono complanari.
(Lo so, non ho dimostrato niente, ma sono fattarelli semplici)

MI ci sto mettendo anche io...

Ma centrano qualcosa ( coems embra a me) gli angoli solidi ? E come si dimostra che la somma degli angoli solidi di una piramide a base triangolare è $ \frac{1}{3} 4\pi ^2 $ ? Io per accorgermene ho dovuto fare un modellino con carta e colla...

minima.distanza ha scritto:MI ci sto mettendo anche io...

Ma centrano qualcosa ( coems embra a me) gli angoli solidi ? E come si dimostra che la somma degli angoli solidi di una piramide a base triangolare è $ \frac{1}{3} 4\pi ^2 $ ? Io per accorgermene ho dovuto fare un modellino con carta e colla...

Cosa sono gli angoli solidi????

http://it.wikipedia.org/wiki/Angolo_solido

Chiedo scusa per il link a wiki, ma non so spiegarlo bene, la figura li è esplicativa... Potremmo dire che è la parte di superficie sferica compresa tra tre semipiano o comunque qualcosa del genere più in generale...