OliForum Matematico

Per favore qualcuno mi può chiarire qualcosa sugli integrali?
Cioè come devo comportarmi in situazioni dove c'è il rischio di imbattersi in circoli viziosi?
Per fare un esempio di quello che voglio dire, illustro una situazione in cui si presenta un circolo vizioso:

Un corpo fissato ne attrae un altro con un'accelerazione che è inversamente proporzionale al quadrato della distanza ($a=\frac{k}{d^2}$), considerando un piccolo intervallo di tempo $\delta t$, in quell'intervallo di tempo lo spazio percorso dal corpo sarà $\delta s=a\cdot\delta t^2=\frac{k}{d^2}\cdot\delta t^2$, dunque dopo quell'intervallo di tempo la distanza si ridurrà della quantità $\delta s$, dunque nell'intervallo di tempo successivo l'accelerazione sarà $a=\frac{k}{d^2-\delta s}$ ecc.

Ora, a prescindere dalla situazione più attinente alla ficica che alla matematica, il problema è che non riesco a trovare un punto da cui calcolare l'integrale in modo da uscire dal circolo vizioso, quale deve essere l'approccio in questi casi?

Grazie in anticipo.

Sinceramente non ho capito cosa vuoi trovare

Quello che si vuole trovare sarebbe il tempo che impiega il corpo a raggiungere l'altro, ma il mio problema (di cui questo è un caso particolare) è che nell'utilizzare gli integrali (in casi come questo) mi imbatto in circoli viziosi cioè mi ritrovo a calcolare qualcosa in funzione di un integrale dipendente da sé stessa (l'accelerazione in funzione della distanza)

Non ho letto tutto il primo messaggio... ma a occhio ti sei imbattuto in un'equazione differenziale e cioè una qualche uguaglianza in cui compare una funzione f e eventuali sue derivate. Purtroppo però non so molto altro

p.s. anche io mi ero imbattuto in questo problema poco tempo fa, con scarsi risultati, e sarei curioso di vedere una soluzione...

tappandomi il naso e ignorando completamente la formalizzazione e il rigore in quello che sto facendo, posso dire che ci sono due considerazioni da fare:
1. io scriverei $\delta s = at \delta t$ anziché $\delta s = a \delta t^2/2$.
2a. se vuoi integrare qualcosa, vuoi una "cosa" della forma $f(t)dt$.
2b. se vuoi trovare una cosa della forma $f(t)dt$ a partire da un'espressione $g(t,dt)$, sviluppi in taylor "in $dt$" e prendi il termine lineare.
chiedo venia ai puristi (me stesso incluso).
ma è natale, siamo tutti più buoni.
e, comunque:

ma_go ha scritto:tappandomi il naso e ignorando completamente la formalizzazione e il rigore in quello che sto facendo, posso dire che ci sono due considerazioni da fare:
1. io scriverei $\delta s = at \delta t$ anziché $\delta s = a \delta t^2/2$.
2a. se vuoi integrare qualcosa, vuoi una "cosa" della forma $f(t)dt$.
2b. se vuoi trovare una cosa della forma $f(t)dt$ a partire da un'espressione $g(t,dt)$, sviluppi in taylor "in $dt$" e prendi il termine lineare.
chiedo venia ai puristi (me stesso incluso).
ma è natale, siamo tutti più buoni.
e, comunque:ci sono altri due approcci possibili al problema, entrambi molto simili: uno è scrivere una bella equazione differenziale al second'ordine, che suona come $\ddot{x} = kx^{-2}$ (equazione del moto), oppure puoi dire che si tratta di un sistema conservativo, e dire che $m\dot{x}^2/2 - km/x = E_0$ (equazione di conservazione dell'energia). e da lì, risolvi una delle due equazioni differenziali (sono equivalenti, ovviamente) e vedi che viene.

Non posso scrivere $\delta s=at\delta t$ perché l'accelerazione non è uniforme.
Per lo stesso motivo l'energia potenziale non è $\frac{km}x$.
Ti sarei realmente molto grato se mi insegnassi a risolvere le equazioni differenziali (va bene anche un link, purché sia buono).
Grazie.

P.S. So cosa sono le differenziali il problema è semplicemente che non le so risolvere.

probabilmente il wiki è il tuo primo amico.
googlando qualcosa di buono si dovrebbe trovare, ma non ho provato.

Per quanto ho capito dovrei procedere in questo modo:
\begin{eqnarray}
x''=\frac{k}{x^2}\\
\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{k}{x^2}\\
x^2\cdot d^2x=k\cdot dt^2\\
\int x^2\cdot d^2x=\int k\cdot dt^2\\
\frac{x^3}{3}\cdot dx=k\cdot t\cdot dt\\
\int\frac{x^3}{3}\cdot dx=\int k\cdot t\cdot dt\\
\frac{x^4}{12}=\frac{k t^2}{2}\\
x^4=6kt^2
\end{eqnarray}

A questo punto verifico mediante un'analisi dimensionale e scopro che c'è almeno un errore, infatti l'equazione dimensionale è (L=lunghezza, t=tempo)
$ [L^4]=[k][T^2] $
$ [k]=\frac{[L^4]}{[T^2]} $
Tuttavia dall'equazione iniziale
$ x''=\frac{k}{x^2} $
si ricava un'altra equazione dimensionale (a=accelerazione = $ [\frac{L}{T^2}] $)
$ [a]=\frac{[k]}{[L^2]} $
$ [k]=[a][L^2]=[\frac{L}{T^2}][L^2]=[\frac{L^3}{T^2}] $

Da qui si nota che ho commesso almeno un errore nella risoluzione della differenziale, (k non può avere dimensioni differenti in equazioni differenti)
qualcuno mi potrebbe dare una mano a capire dove sbaglio?
Grazie.

separazione delle variabili funziona solo per equazioni al prim'ordine (in cui hai solo una derivata prima), mentre la tua è al second'ordine.
in questo caso, c'è un altro trucchetto: moltiplicando a destra e sinistra per $\dot{x}$ (il puntino sta per "derivata rispetto a t"), hai:$$\frac12\frac{d}{dt}\dot{x}^2 = -k\frac{d}{dt}\frac1{x},$$
e adesso puoi integrare entrambi i membri in $dt$ (sfruttando il teorema del calcolo integrale), e ti riconduci ad un'equazione al prim'ordine (più o meno) a variabili separabili, dove puoi ri-usare il tuo trucchetto di "moltiplicare per $dt$".
sia chiaro che quest'ultima cosa non è rigorosa: $\frac{dx}{dt}$ **non** è una frazione. ma resta un buon trucchetto pratico-mnemonico per risolvere le equazioni differenziali a variabili separabili .

In quale punto e per quale motivo dovrei moltiplicare per $ \dot{x} $?

l'equazione iniziale, e perché funziona. io, comunque, ti suggerirei di aspettare un po' e studiare un po' di analisi vera, prima di affrontare questo genere di problemi in questo modo...