trovare tutte le soluzioni intere positive a $ 4x+12y+3z^2=2006 $
è per i neofiti, si pregano gli esperti di non bruciarlo XD io l'ho trovato carino...
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 27 dic 2010, 13:24
da LukasEta
Rispondo perché mi considero un assoluto neofita Comuque metto in testo nascosto:
Testo nascosto:
Siccome $ 4x+12y+3z^2=2006=2*17*59 $ , allora $ 4x+12y+3z^2 $ dev'essere divisibile per 2 , e $ 2^1 $ è quindi la massima potenza per cui può essere diviso.
Affinchè sia pari, devo però porre $ z=2k $(con $ k $ intero)
L'equazione diventa della forma $ 4x+12y+3*4k^2=2006 $. Se divido tutto per 4, ottengo $ x+3y+3k^2=\frac{2006}{4} $ , che non ha soluzioni intere dal momento che $ \frac{2006}{4} $ non è intero.
Right??
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 27 dic 2010, 13:43
da ndp15
Detta in maniera più concisa:
Testo nascosto:
Analizzo tutto mod 4: $ 3z^2\equiv2 \Rightarrow z^2\equiv2 $ impossibile perchè 2 non è residuo quadratico
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 27 dic 2010, 14:03
da minima.distanza
Bene !
Peccato che mi accorga solo ora di aver sbagliato a copiare il testo dalla gara...
Dai, questo è un attimino più difficile ma è carino uguale:
Quante sono le soluzioni intere positive di $ 4x+12y+3z^2 = 2008 $ ?
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 27 dic 2010, 18:47
da LukasEta
Ah ecco mi sembrava strano!
Dunque, provo a risolvere quello nuovo:
Testo nascosto:
Riscrivo nella forma $ x+3y+3k^2=502 $ (ho diviso per 4 come prima) e noto che $ 502-x\equiv0 \mod 3 $, per cui $ x\equiv -1 \mod 3 $.
Chiamo quindi $ x=3t+1 $: l'equazione diventa $ 3y+3k^2=501-t $ con $ t\equiv 0 \mod 3 $. Chiamo $ \frac{t}{3}=w $, divido tutto per 3 e riscrivo:
$ k^2=167-(w+y) $.
La quantità $ 167-(w+y) $ dovrà quindi essere un quadrato perfetto.
I quadrati perfetti tra 1 e 167 sono : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144
Assegnando a $ k^2 $ ognuno di questi valori, e calcolando le combinazioni di $ (w+y) $ corrispondenti si ha che che le terne sono 165+162+157+150+141+130+117+102+85+66+45+22 = 1342
Spero vada bene
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 27 dic 2010, 19:27
da minima.distanza
Molto bene, tutto giusto
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 28 dic 2010, 13:53
da Claudio.
Era più carino il primo la conclusione con tentativi è terribile .
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 28 dic 2010, 14:10
da matty96
Claudio. ha scritto: la conclusione con tentativi è terribile .
Si,però mi piace il modo con cui Lukaseta risolve i problemi,perchè non segue ragionamenti in cui si deve conoscere un particolare argomento,ma li fa in modo molto intuitivo.
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 28 dic 2010, 20:22
da LukasEta
matty96 ha scritto:
Claudio. ha scritto: la conclusione con tentativi è terribile .
Si,però mi piace il modo con cui Lukaseta risolve i problemi,perchè non segue ragionamenti in cui si deve conoscere un particolare argomento,ma li fa in modo molto intuitivo.
E' vero , li faccio utilizzando sempre "proprietà di base" o magari anche fatti ovvi che si potrebbero dare per scontati, dal momento che purtroppo non ho una grande esperienza e/o conoscenze di matematica olimpica. Faccio quel che posso
Claudio. ha scritto:Era più carino il primo la conclusione con tentativi è terribile .
Sì, effettivamente era un po' troppo calcolosa Hai un modo per evitare tutto quel marasma finale?
Re: Da una gara a squadre
Inviato: 28 dic 2010, 20:29
da minima.distanza
Io ho usato la formula per calcolare $ \sum_{n=1}^{12}n^2 $ mi sembra di ricordare ( ho la memoria di un pesce rosso, perdonatemi..)
Comuque metto in testo nascosto:
la conclusione con tentativi è terribile .