funzionale staffetta 26

[paga92aren]

Problema 26: determinare tutte le funzioni $f: \mathbb{R^+}\cup \{0\} \longrightarrow \mathbb{R^+}\cup\{0\}$ tali che:
$$f(x)+f(y)=f(x+y+2f(xy))$$

(sono in montagna a sciare quindi non ricordo se nel problema la funzione $f$ è iniettiva o si ricavava dall'equazione iniziale)

EDIT: modificato il TeX. ma_go
ri-corretto. paga92aren

[Anér]

Cosa intendi per $ \mathbb{R}^+\{ 0\} $?

[paga92aren]

L'insieme dei numeri reali non negativi.

[jordan]

Credo che tu sia tornato dalla montagna oramai..l'iniettività di f è data per ipotesi o no?
Ps. devi usare il comando\setminus

[paga92aren]

Per la staffetta supponete la funzione iniettiva.
Se qualcuno di esperto la riesce a risolvere senza l'ipotesi dell'iniettività mi piacerebbe vedere la sua soluzione (naturalmente si aggiungono soluzioni come $f(x)=0$)

[fph]

(naturalmente si aggiungono soluzioni come $f(x)=0$)

Ehm... veramente per come hai scritto il codominio 0 non c'è

[paga92aren]

Non c'entra con la funzionale ma: $\mathbb{R^+}$ non significa l'insieme dei numeri reali positivi?
Quindi l'insieme $\mathbb{R^+}\cup \{0\}$ è l'insieme dei reali positivi unito con lo zero.
Mi sbaglio io o è proprio così?

Nella funzionale l'insieme di definizione e l'insieme delle immagini sono l'insieme dei numeri reali non negativi.

[jordan]

Quindi l'insieme $\mathbb{R^+}\cup \{0\}$ è l'insieme dei reali positivi unito con lo zero.
Mi sbaglio io o è proprio così?

E' cosi, ma nel testo originale avevi scritto "R^+ /{0}", che non mi pare volesse intendere unione..

[ma_go]

ok, scusate, forse qui ho fatto casino io con TeX, ho corretto in automatico leggendo il messaggio di jordan.
ergo, paga92aren: quale delle due versioni è corretta?

$f: \mathbb{R^+}\setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{R^+}\setminus\{0\}$

$f: \mathbb{R^+}\cup \{0\} \longrightarrow \mathbb{R^+}\cup\{0\}$

[paga92aren]

La seconda è corretta

[ma_go]

ok, sorry.

è colpa mia.

[paga92aren]

Qualcuno sta risolvendo questa funzionale?

Volete qualche hint? o la devo cambiare?

[Anér]

No, aspetta ancora un po' perché non ci ho più pensato e vorrei provare a farla (magari metti un suggerimento tra qualche giorno e cambia problema tra una settimana).

[Anér]

Sono riuscito a risolvere il problema con l'ipotesi dell'iniettività.
Siano $ x,y,z $ reali non negativi:
$ f(x)+f(y)+f(z)=f(x)+f(y)+f(z) $
$ f(x+y+2f(xy))+f(z)=f(x)+f(y+z+2f(yz)) $
$ f(x+y+2f(xy)+z+2f(zx+yz+2zf(xy)))=f(x+y+z+2f(yz)+2f(xy+zx+2xf(yz))) $
$ x+y+2f(xy)+z+2f(zx+yz+2zf(xy))=x+y+z+2f(yz)+2f(xy+zx+2xf(yz)) $
$ f(xy)+f(zx+yz+2zf(xy))=f(yz)+f(xy+zx+2xf(yz)) $
Poniamo ora $ x=y=1 $
$ f(1)+f(2z+2zf(1))=f(z)+f(1+z+2f(z)) $
$ f(1)+f(2z+2zf(1))=f(z)+f(1)+f(z) $
$ f(2z+2zf(1))=f(z)+f(z)=f(2z+2f(z^2)) $
$ zf(1)=f(z^2) $
Ponendo ora $ z=\sqrt{k}, k\in \mathbb{R}^+_0 $ e $ f(1)=c $ si ha che
$ f(k)=c\sqrt{k} $
Sostituendo nell'equazione originale si trova facilmente $ c=1 $ e che effettivamente la radice quadrata è soluzione dell'equazione.
Ecco il nuovo problema:
viewtopic.php?f=13&t=15489