OliForum Matematico

sia a,b,c una terna pitagorica elementare
 MCD(a,b,c)=1
 a²+b²=c²
 
 dimostra che:
 1) c è dispari
 2)almeno uno tra a,b,c è multiplo di 2, almeno uno multiplo di 3, almeno uno multiplo di 5
 
 ok, non è granché come difficoltà, ma non avevo di meglio da postare ^^
 
 (correzione mcs-->mcd, osserva le lettere intorno alla s e prova ad indovinare) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 05-07-2003 22:08 ]

A parte il fatto che la 2.) è valida per ogni terna pitagorica (della specie 3a, 4a, 5a), cos\'è MCS? Il Massimo Comune S.... S cosa?

Sia data l’equazione diofantea x^n + y^n = z^n. Per il teorema di Fermat se n>2 l’equazione non ammette soluzioni intere. Se invece n=2 si ha una terna pitagorica elementare. Osserviamo che tutte le incognite devono essere diverse fra loro. Se così non fosse possiamo porre x=y ed ottenere 2x^2=z^2, che non ammette soluzioni intere, poiché i due membri non sono equiscomponibili.
 Analogamente non si può avere x=y=z. Incominciamo a vedere ora se x, y e z devono essere pari o dispari. Si ha che se e solo se x, y e z sono tutte pari, oppure due dispari ed una pari, l’equazione ammette soluzioni. Se le incognite fossero tutte pari si avrebbe x=2a, y=2b, z=2c da cui si ottiene 4a^2+4b^2=4c^2. Utilizzando la tecnica della discesa infinita si vede che è assurdo che le incognite siano tutte pari. Analizziamo il caso in cui una fra x e y sia dispari e l’altra pari, e z dispari. Infatti x e y non possono essere entrambe dispari, e si può vedere ragionando in modulo 4. Esaminiamo il caso in cui x è dispari, y è pari e z è dispari. Allora posto y=2y’, si ha 4y’^2=z^2-x^2, e dopo aver scomposto il secondo membro 4y’^2= (z-x)(z+x), dove (z-x) e (z+x) sono entrambi pari. Perciò posto z-x=2p e z+x=2q si ha che, dopo averli messi in sistema, z=p+q x=q-p e y’^2=pq. Se si raccolgono i fattori che contengono dei quadrati sia in p che in q, si ottiene p=mr^2 e q=ms^2, e sostituendo x=m(s^2-r^2), y’=mrs, ossia y=2mrs, e z=m(r^2+s^2). Assegnando a m,r ed s valori interi qualsiasi si ottengono tutte le terne pitagoriche. Assegnando ad m il valore unitario, ossia m=1, si ha x=s^2-r^2, y=2rs, z=s^2+r^2.
 Da qui che y è sempre un multiplo di due, poiché nella sua fattorizzazione contiene almeno una volta il fattore 2. Ora è anche vero il ragionamento di Fede, per cui mi chiedo se bisogna dimostrare che s^2-r^2 è sempre multiplo di 3 e che s^2+r^2 è sempre multiplo di 5……Allora????
 Se così fosse credo che basti vedere che somme e differenza di quadrati sono rispettivamente multiple di 3 e di 5. Credo che con le congruenze non debba essere difficile, oppure ho sbagliato completamente strada?????

riformulo in termini più simpatici la tesi
 
 dimostrate che 60|abc, per ogni terna pitagorica ^^ logicamente basta dimostrarlo per le elementari
 
 mi pare un po\' troppo cervellotico tirare fuori anche l\'utf, è un problema stupido, quindi richiede soluzione stupida

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-07-09 22:22, thematrix wrote:
 se m==1(5) e n==4(5) o viceversa,5|b;
 se invece m==n(5),allora 5|c
 (se infine,5|m o 5|n,allora 5|a)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Motiverei meglio questo, perchè la tua dimostrazione non esaurisce tutti i casi.
 
 Se 5|m o 5|n, è fatta. Restano i casi in cui m^2 e n^2 sono == a 1 o a 4 (mod 5). Se m^2 e n^2 sono ==, allora 5|c. Altrimenti, se uno è 1 e l\'altro è 4, allora 5|b.

ci vorrebbe un bel compendio di creazione problemi ^^ qualche volontario ad insegnare le tecniche per far apparire gradevole un esercizio? (sempre stile olimpionico)
 
 uhm...

già,sono stato poco chiaro...