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Determinare tutte le radici reali dell'equazione:

$ x^{10}-x^8+8x^6-24x^4+32x^2-48=0 $.

Io per ora sono riuscito a trovare soltanto $ x=\pm\sqrt{2} $.
Infatti ponendo $ x^2=t $ Otteniamo "a tentativi" che $ t=2 $.
Riesco quindi ad abbassarla di un grado di t, ottenendo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $... and now?

LukasEta ha scritto:Determinare tutte le radici reali dell'equazione:

$ x^{10}-x^8+8x^6-24x^4+32x^2-48=0 $.

Io per ora sono riuscito a trovare soltanto $ x=\pm\sqrt{2} $.
Infatti ponendo $ x^2=t $ Otteniamo "a tentativi" che $ t=2 $.
Riesco quindi ad abbassarla di un grado di t, ottenendo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $... and now?

La prossima volta non mettere il testo nascosto please.. Comunque roba di radici di equazioni cosa di c'entra con teoria di numeri?

Btw, $ \displaystyle p(t):=t^4+t^3+10t^4-4t+24=(t^4+t^3+t^2+t+1)+9t^2-5t+23= $ $ \displaystyle \left(\frac{t^5-1}{t-1}\right)+\left(3t-\frac{5}{6}\right)^2+\left(23-\frac{25}{36}\right)>0 $. []

Anticipato...

jordan ha scritto:

LukasEta ha scritto:Determinare tutte le radici reali dell'equazione:

$ x^{10}-x^8+8x^6-24x^4+32x^2-48=0 $.

Io per ora sono riuscito a trovare soltanto $ x=\pm\sqrt{2} $.
Infatti ponendo $ x^2=t $ Otteniamo "a tentativi" che $ t=2 $.
Riesco quindi ad abbassarla di un grado di t, ottenendo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $... and now?

La prossima volta non mettere il testo nascosto please.. Comunque roba di radici di equazioni cosa di c'entra con teoria di numeri?

Btw, $ p(t):=t^4+t^3+10t^4-4t+24=(t^4+t^3+t^2+t+1)+9t^2-5t+23=\displaystyle \left(\frac{t^5-1}{t-1}\right)+\left(3t-\frac{5}{6}\right)^2+\left(23-\frac{25}{36}\right)>0 $. []

Cavato il

Senza nulla togliere alla soluzione stylish di jordan, ce la si poteva cavare con 2 minuti di studio di funzione e senza stare a trovare idee (è un test del s.anna, calculus is allowed)

julio14 ha scritto:Senza nulla togliere alla soluzione stylish di jordan, ce la si poteva cavare con 2 minuti di studio di funzione e senza stare a trovare idee (è un test del s.anna, calculus is allowed)

Essi, i testi del Sant'Anna sono la fine del mondo..

julio14 ha scritto:Senza nulla togliere alla soluzione stylish di jordan, ce la si poteva cavare con 2 minuti di studio di funzione e senza stare a trovare idee (è un test del s.anna, calculus is allowed)

Scusate l'ignoranza, ma ad esempio cosa avrei potuto fare solo con studio di funzione? Premetto che in quanto a studio di funzione al momento ho poche conoscenze (faccio l'ultimo anno di un classico )... La soluzione stylish di jordan comunque mi soddisfa troppo

Nascondo perchè le mie conoscenze in questo campo sono poche ^^

Claudio. ha scritto:$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente e diverge sia positivamente che negativamente, quindi la funzione non ha punti di flesso.

questo è falso: anche $g(x)=x^3$ è strettamente crescente e diverge, ma ha un punto critico (di flesso) in $x=0$, che corrisponde ad un punto critico con $G''(0)=0$ per una sua primitiva $G$ (forse questa cosa dipende dalla definizione di "punto di flesso": io ho inteso "la derivata seconda non si annulla nel punto critico", da cui la correzione).
comunque, partendo da dove sei tu: in alternativa, fai la derivata seconda, verifichi che la funzione $f$ è convessa, e stimi con $f(x)\ge f(0)+f'(0)x$, giustamente. se non basta stimi anche con $f(x)\ge f(1)+f'(1)(x-1)$, tanto "il grafico di una funzione convessa sta sopra ogni sua (sub)tangente".
la tua soluzione è un po' fumosa a tratti, e probabilmente in contesto olimpico prenderebbe uno 0 (per motivi già espressi in qualche altro topic recente: se usi i cannoni, devi usarli "con tutti i crismi").

Intendo che f(x) non ha punti di flesso non la derivata, se non sbaglio se la derivata di una funzione è sempre strettamente crescente, o decrescente, allora la funzione non cambia concavità...è vero?
Comunque si è totalemente fumosa, non voleva essere una dimostrazione, ma un procedimento da seguire per scriverla per estesa ^^ ma so molto poco di analisi non avrei saputo citare i teoremi che servivano, erano cose intuitive.

Claudio. ha scritto:$f(x)=x^4+x^3+10x^2-4x+24$
derivi
$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente

Giusta l'idea, ma non capisco perché quel polinomio è strettamente crescente.

Io farei: $f'(0)<0$ e $f'(1)>0$ quindi la funzione ammette una radice $\lambda$ nell'intervallo (0,1). Riscrivo $f'$:
$f'(x)=(x-\lambda)(4x^2+(3+4\lambda)x+(4\lambda^2+3\lambda+20))$
Il secondo polinomio non ha radici reali, infatti $\Delta=-20\lambda^2-30\lambda-311<0$ per $\lambda >0$.
Quindi l'unico punto di minimo è in $x=\lambda$
Calcolo approssimativamente il valore di $f(\lambda)> 0^4+0^3+10\cdot 0^2-4\cdot 1+24>0$ quindi il minimo della funzione è positivo.

P.S. ma_go mi ha appena anticipato, ma ormai lo ho scritto e quindi lo posto.

paga92aren ha scritto:

Claudio. ha scritto:$f(x)=x^4+x^3+10x^2-4x+24$
derivi
$f'(x)=4x^3+3x^2+20x-4$ questa è strettamente crescente

Giusta l'idea, ma non capisco perché quel polinomio è strettamente crescente.

sulla semiretta positiva, è una somma di funzioni crescenti. (tanto stiamo considerando solo valori positivi di $x$)