Mmh, per fare chiarezza noi stiamo mostrando che "Il triangolo è rettangolo" $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=8R^2$. La prima
freccia è semplice. Se si volesse fare la freccia $a^2+b^2+c^2=8R^2 \Rightarrow$ "il triangolo è rettangolo" ragionando per assurdo, si dovrebbe partire dall'assunto che il triangolo non è rettangolo (negazione della tesi) e che vale $a^2+b^2+c^2=8R^2$ (ipotesi) e non il contrario, altrimenti si sta dimostrando per assurdo l'altra freccia
Comunque, ho tentato di trovare una soluzione più o meno sintetica, ma non ci sono riuscito del tutto (passa per un po' di trigonometria).
Tanto per rimanere in tema, lo faccio per assurdo. Considero un triangolo in cui valga $a^2+b^2+c^2=8R^2$ e che non sia rettangolo. Posso inscriverlo, quindi, in una circonferenza in maniera tale che questa venga divisa in due archi che non sono delle semicirconferenze da un suo lato AB. Ora fisso AB e siano M e N i punti medi dell'arco AB rispettivamente maggiore e minore. Voglio studiare come varia $AC^2+BC^2$ al variare di C sulla circonferenza. Senza perdere generalità, posso considerare C che si muove solo su una delle due semicirconferenze MN, tanto i punti sull'altra semicirconferenza sono ottenuti da una simmetria assiale con asse MN che lascia invariata $AC^2+BC^2$. Quindi, come varia questa somma?
Divido la semicirconferenza in due parti:
-da M a B:
Se chiamo $\angle ACB = \alpha$ ($\alpha$ è acuto!) e $\angle CBA=\beta$, ho che per il teorema dei seni $AC^2=\dfrac{AB^2}{\sin^2\alpha}\sin^2\beta$ e $BC^2=\dfrac{AB^2}{\sin^2\alpha}\sin^2(\alpha+\beta)$. Quindi $AC^2+BC^2$ varia come $\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta)$, essendo $\dfrac{AB^2}{\sin^2\alpha}$ costante.
Ora con prostaferesi e duplicazione (o come diavolo si chiamano xD) ottengo $\sin^2\beta+\sin^2(\alpha+\beta) = 1-\cos(2\beta+\alpha)\cos\alpha$. Ora l'angolo $\angle CBA$ cresce da $\dfrac{\pi - \alpha}{2}$ a $\pi-\alpha$, quindi $2\beta+\alpha$ cresce da $\pi$ a $2\pi - \alpha$. In questo intervallo il coseno è crescente quindi $1-\cos(2\beta+\alpha)\cos\alpha$ è decrescente.
-da N a B:
Chaimo $\angle CBA=\beta$. Come prima faccio tutti i conti e viene che $AC^2+BC^2$, questa volta, varia come $\sin^2\beta+\sin^2(\alpha-\beta)=1-\cos(\alpha-2\beta)\cos\alpha$. l'angolo $\angle CBA=\beta$ decresce da $\alpha$ a $\dfrac{\alpha}{2}$, quindi $(\alpha-2\beta)$ cresce da $-\alpha$ a 0 e in questo intervallo il cosenso è crescente (perché $\alpha$ è acuto), quindi $1-\cos(\alpha-2\beta)\cos\alpha$ è decrescente.
Quindi $f(C)=AC^2+BC^2$ è una funzione strettamente crescente se C si muove da M a N. Quindi vuol dire che è iniettiva.
Allora considero C' in modo tale che C'BA sia rettangolo. $f(C')=8R^2$, ma sappiamo, avendo negato la tesi, che esiste un C diverso da C' e dal suo simmetrico rispetto a MN tale che $f(C)=8R^2$, questo è contro l'iniettività di f.
Piccolo bonus: (preferibilmente da risolvere in maniera elementare
) Fra tutti i triangoli inscritti in una circonferenza determinare quello per cui la somma dei quadrati dei lati è massima.
