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Siano a, b e c le lunghezze dei lati di un triangolo. Dimostrare che, se $ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca $, allora il triangolo è equilatero.

Per la disuguglianza di riarrangiamento $ a^2+b^2+ c^2 \geq ab + bc + ca $ e l'uguaglianza si ha solo quando tutti i termini sono uguali quindi $ a=b=c $ quindi è equilatero.

Kopernik ha scritto:Siano a, b e c le lunghezze dei lati di un triangolo. Dimostrare che, se $ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca $, allora il triangolo è equilatero.

Porto tutto al LHS e moltiplico per a+b+c
$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 $
$ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} = abc $ quindi per CM-GM ho a=b=c

Non basta dire molto semplicemente che se il triangolo è equilatero moltiplicare un suo lato per un qualunque altro equivale ad elevarlo a potenza (dato che moltiplichiamo un numero per sé stesso)?

In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.

Mike ha scritto:In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.

beh, se il triangolo non è equilatero almeno due lati saranno diversi, quindi il loro prodotto non sarà mai equivalente ad il quadrato di uno dei due...

domx ha scritto:

Mike ha scritto:In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.

beh, se il triangolo non è equilatero almeno due lati saranno diversi, quindi il loro prodotto non sarà mai equivalente ad il quadrato di uno dei due...

Ma due somme possono essere uguali anche se non hanno gli stessi addendi...

Claudio. ha scritto:

domx ha scritto:

Mike ha scritto:In quel modo dimostri che, se il triangolo è equilatero, quella formula vale; non il contrario, che è ciò che chiede il problema.

beh, se il triangolo non è equilatero almeno due lati saranno diversi, quindi il loro prodotto non sarà mai equivalente ad il quadrato di uno dei due...

Ma due somme possono essere uguali anche se non hanno gli stessi addendi...

e infatti io dicevo di dire che $ a^2=ab, b^2=bc, c^2=cb $, anche presi separatamente il risultato non cambia...

In questo modo dici che se il triangolo equilatero allora quella vale, ma noi dobbiamo dire il contrario, e il tuo ragionamento non basta perchè se per esempio prendiamo $a<b<c$ abbiamo che $a^2<ab$, $b^2<bc$ ma $c^2>ac$ quindi in teoria potrebbero compensarsi...
Comunque credo che in generale non vale ciò che ha detto amatrix per il riarrangiamento.

Claudio. ha scritto:In questo modo dici che se il triangolo equilatero allora quella vale, ma noi dobbiamo dire il contrario, e il tuo ragionamento non basta perchè se per esempio prendiamo $a<b<c$ abbiamo che $a^2<ab$, $b^2<bc$ ma $c^2>ac$ quindi in teoria potrebbero compensarsi...
Comunque credo che in generale non vale ciò che ha detto amatrix per il riarrangiamento.

Perchè? spiegati meglio

Che in generale per il riarrangamento non è vero che l'uguaglianza sia ha SOLO quando sono tutti uguali, in questo caso è vero perchè le due n-uple sono uguali.