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Un sarto deve comprare tanti mentri di tessuto. Si rivolege ad un azienda che gli fornisce un tessuto lungo $ l $ metri, arrotolato su un cilindro di raggio $ r $, formando insieme al cilindro di base un cilindro più largo di raggio $ R $. Sapendo che lo spessore del tessuto è $ s $, che conto deve fare il sarto, sapendo $ r $, $ R $, $ s $, per controllare che la lunghezza che gli hanno venduto è esatta?

Soluzione:

Questo calcolo vale per valori piccoli di $s$, infatti se $s$ è grande (in particolare non si ha che $s<<r$) l'allungamento della stoffa nel momento in cui viene arrotolata non è trascurabile.

Cosa intendi per "allungamento della stoffa"?
Io ho pensato che la stoffa fosse ideale, quindi non subisse variazioni di spessore, e che fosse arrotolata in maniera perfetta, cioè senza lasciare spazi tra un giro e l'altro.

Gigi95 ha scritto:Questo calcolo vale per valori piccoli di $s$, infatti se $s$ è grande (in particolare non si ha che $s<<r$) l'allungamento della stoffa nel momento in cui viene arrotolata non è trascurabile.

Stoffa-mattone?

Eh... non sai mai quale può essere l'affidabilità di un'industria...
Comunque scherzavo, volevo solo vedere se qualcuno si ingegnava a trovare la lunghezza di una spirale di cui sono noti i parametri dati nel problema.

Gigi95 ha scritto:Eh... non sai mai quale può essere l'affidabilità di un'industria...
Comunque scherzavo, volevo solo vedere se qualcuno si ingegnava a trovare la lunghezza di una spirale di cui sono noti i parametri dati nel problema.

Io purtroppo l'ho fatto! xD Complimenti a paga per la soluzione estremamente veloce che non mi era venuta in mente! Se qualcuno vuol provare a calcolare la lungheza della spirale come ha scritto Gigi95 provi. Domani posto la mia soluzione.

La mia soluzione:

Per prima cosa noto che il numero degli arrotolamenti è dato da $ n=\frac{R-r}{s} $. Suppongo che il cambio da una circonferenza ad un altra avvenga in modo repentino come se fosse un piccolissimo scalino. Sommo tutte le circonferenze:
$ 2 \pi r + 2 \pi (r+s) + 2 \pi (r+2s) + ... + 2 \pi (r+(n-1) s = $

$ 2 \pi ( r+ r+s + r+2s + r + 3s + ... + r+(n-1)s = $

$ 2 \pi n r + 2 \pi s ( 1+2+3+...+(n-1))= $

$ 2 \pi n r + 2 \pi s \cdot \frac {n-1+1}{2} \cdot n = $

$ 2 \pi n ( r+ \frac {sn}{2}) = $

$ \pi n (2r+R-r ) = $

$ \pi \frac {R-r}{s} \cdot (R+r) = $

$ \displaystyle\frac {\pi (R^2 - r^2 ) }{s} $

paga92aren ha scritto:Cosa intendi per "allungamento della stoffa"?
Io ho pensato che la stoffa fosse ideale, quindi non subisse variazioni di spessore, e che fosse arrotolata in maniera perfetta, cioè senza lasciare spazi tra un giro e l'altro.

Non so cosa intendesse per allungamente della stoffa ma quando la stoffa ha uno spessore non può essere arrotolata in modo perfetto poichè la parte che metti all'esterno dovrebbe essere più lunga di quella all'interno.

Claudio. ha scritto:

paga92aren ha scritto:Cosa intendi per "allungamento della stoffa"?
Io ho pensato che la stoffa fosse ideale, quindi non subisse variazioni di spessore, e che fosse arrotolata in maniera perfetta, cioè senza lasciare spazi tra un giro e l'altro.

Non so cosa intendesse per allungamente della stoffa ma quando la stoffa ha uno spessore non può essere arrotolata in modo perfetto poichè la parte che metti all'esterno dovrebbe essere più lunga di quella all'interno.

Esatto intendevo proprio questo.
Comunque amatrix92 non hai calcolato la lunghezza della spirale, ma la somma delle lunghezze delle varie circonferenze (tra l'altro trascurando le lunghezze degli "scalini" che sommate danno $R-r$).
Se qualcuno vuole calcolare la lunghezza della spirale la sfida è aperta!

No io ho calcolato la lunghezza della spirale che è data prorpio dalla somma delle circonferenze! lo "scalino" non l'ho considerato perchè è apparente, poi è ovvio che la lunghezza interna sarà più lunga di quella esterne ma quella lunghezza credo si possa davvero trascurare.

ma lo scalino non va contato, perchè non c'è, cioè, ho fatto un piccolo e orrendo disegnino per far capire cosa dico:



la lunghezza della spirale, dunque, è proprio data dalla somma delle circonferenze (lo scalino viene già contato quando si calcola la circonferenza

In teoria se la stoffa viene arrotolata "tesa" lo scalino c'è...ma il testo presuppone che la stoffa sia arrotolata in modo ideale, il problema è che in teoria la stoffa non sarebbe un parallelepipedo ma avrebbe un profilo trapezoidale, ma in ogni caso credo che in un problema posto in questo modo la risposta di paga sia perfetta...