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Non ho capito, pur leggendo la soluzione, come si risolve il problema 12 a risposta multipla della gara di febbraio del 2009 sui polinomi.
Potreste spiegarmelo meglio delle soluzioni?

Grazie mille

Beh è spiegato abbastanza bene...
$x^{16}+x=x(x^{15}+1)=x(x^5+1)(x^{10}-x^5+1)=x(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^{10}-x^5+1)$
Fino a quì dovresti esserci, adesso noti che avresti potuto scomporre anche in altro modo, cioè considerando $(x^3)^5+1$ e quindi invece di scomporre come somma di cubi farlo come somma di quinte potenze quindi:
$x(x^{15}+1)=x(x^3+1)(x^{12}-x^9+x^6-x^3+1)=x(x+1)(x^2-x+1)(x^{12}-x^9+x^6-x^3+1)$
Adesso noti che abbiamo due nuovi fattori che non compaiono nella fattorizzazione di prima, quindi effettivamente potrebbero comparire, allora provi a dividere il fattore di una con quello dell'altra(sempre quello con grado più alto fratto quello con grado più basso) e noti che effettivamente:
$x^{12}-x^9+x^6-x^3+1=(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)$ e
$x^{10} - x^5 + 1=(x^2 - x + 1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)$
quindi vedi che entrmbe le fattorizazioni diventano:
$x(x+1)(x^2 - x + 1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)$

Come fai a scomporre (x^15+1) in (x^5+1) * altro fattore ?

Tu mi hai insegnato a scomporlo come somma di potenze dispari, ma tipo (x^15+1)=(x+1)(x^14-x^13+x^12-...) ma non utilizzando un divisore divisore da (x+1), tipo x^3+1 o x^5 +1.

e quindi invece di scomporre come somma di cubi farlo come somma di quinte potenze

perchè prima era somma di 2 cubi, e adesso somma di quinte potenze?

quindi effettivamente potrebbero comparire

In che senso?

Adesso noti che abbiamo due nuovi fattori che non compaiono nella fattorizzazione di prima, quindi effettivamente potrebbero comparire, allora provi a dividere il fattore di una con quello dell'altra(sempre quello con grado più alto fratto quello con grado più basso) e noti che effettivamente:

perchè devo dividere i due fattori? E dato che nei due prodotti ce ne sono due diversi, con che criterio nei hai scelto uno nella prima scomposizione e uno nella seconda da diverli uno con l'altro?

Come hai fatto a semplificare x^12-x^9+x^6... e anche x^10-x^5+1?

Perchè il risultato del problema sarebbe 4? Quali sarebbero le 4 soluzioni?

Guarda se tu hai $x^{15}+1$ lo puoi scrivere sia come $(x^5)^3+1^3$ ed è una somma di cubi no, se sostituisci $x^5=a$ ottieni $a^3+1$, e puoi scriverlo anche come $(x^3)^5+1^5$, e sostituendo $x^3=b$ ottieni $b^5+1$, quindi hai questi due modi per guardarlo e scomporlo( non conviene quello diretto con 15).
Se lo scomponi in questi due modi ottieni dei fattori diversi, adesso quindi quei fattori sono sempre divisori di $x^{15}+1$ e quindi possono(non sono sicuro che valga proprio sempre, ci sarà qualche caso particolare) comparire anche nell'altra scomposizione, allora ci provi no, fai la divisione tra polinomi( li secgli perchè guardando il grado dei polinomi si vede che sono i più probabili per essere scomposti, in ogni caso ci sono solo 3 possibilità a provando vedi che solo quelli sono scomponibili, quindi provi a fare:
$\frac{x^{12}-x^9+x^6-x^3+1}{(x^4-x^3+x^2-x+1)}=(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)$
$\frac{x^{10} - x^5 + 1}{(x^2 - x + 1)}=(x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1)$
Essendo interi allora vedi che puoi scomporre, moltiplichi per il denominatore e sostituisci nelle due socomposizioni e ottiene lo stesso prodotto.
La tua ultima domanda non ha senso...il problema chiede qual è il massimo di fattori che puoi ottenere, non so cosa tu intenda per soluzioni, siccome abbiamo ottenuto 5 fattori, e la risposta massimo tra le opzioni è 5 questo è il risultato.

La mia ultima domanda significava: quali sono le 5 possibili scomposizioni, dato che la risposta è 5?

Se lo scomponi in questi due modi ottieni dei fattori diversi, adesso quindi quei fattori sono sempre divisori di e quindi possono(non sono sicuro che valga proprio sempre, ci sarà qualche caso particolare) comparire anche nell'altra scomposizione

Non ho capito questa frass

La mia ultima domanda significava: quali sono le 5 possibili scomposizioni, dato che la risposta è 5?
La risposta è, leggi il testo prima di fare il problema... il testo non chiede in quanti modi diversi si può scomporre -_- chiede qual'è il massimo numero di fattori un cui si può scomporre.

Ah ok, scusa.
E questa frase cosa siggnifica?

Se lo scomponi in questi due modi ottieni dei fattori diversi, adesso quindi quei fattori sono sempre divisori di e quindi possono(non sono sicuro che valga proprio sempre, ci sarà qualche caso particolare) comparire anche nell'altra scomposizione

Non so come spiegartelo...mi sembra chiaro, semplicemente noti che poichè un avendo un polinomio $ p(x)=a(x)b(x) $ e $ p(x)=c(x)d(x) $, hai che $ c(x) $ divide $ p(x) $ quindi divide $ a(x)b(x) $ quindi è possibile che divida $ a(x) $ o $ b(x) $, semplicemente provi e vedi che effettivamente lo divide.