OliForum Matematico

dummy ha scritto:Provare che, dati $ a_0,\dots, a_n $ reali positivi, vale la seguente

$ 1+\sum_{i=0}^n\left(\frac{1}{a_i}\prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)\right)=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $

io.gina93 ha scritto: e poi il secondo membro $ \prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right) $ non è uguale a zero??

io.gina93 ha scritto:$ \prod_{j\neq i}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right) $
non manca l'indice superiore? ammesso che sia n, io parto da j, ma qual è il suo valore?

Claudio. ha scritto:Niente, non fa ancora per me
Quando scrivo un produttoria senza argomento allora intendo(hp sta per ipotesi non sapevo come distinguerla ^^): $\displaystyle\prod^k_{hp}=\frac1{a_i}\prod_{j\ne i}^k{(1+\frac1{a_j-a_i})}$
Quindi l'ipotesi induttiva è $\displaystyle 1+\sum^n{(\prod^n_{hp})}=\prod^n(1+\frac1{a_i})$
Il passo induttivo dovrebbe essere:
$\displaystyle 1+\sum^{n+1}{(\prod^{n+1}_{hp})}=\prod^{n+1}(1+\frac1{a_i})$
Arrivo facendo normali calcoli a:
$\displaystyle \sum^n{(\prod^n_{hp})}=\left[\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}\right]\left[\sum^n{[(1+\frac1{a_{n+1}-a_i})\prod^n_{hp}]}+\frac1{a_{n+1}}[\prod^n(1+\frac1{a_i-a_{n+1}})-1]\right]$
Non si capisce nulla e probabilmene è completamente inutile.

Claudio. ha scritto:Dario ho semplicemente fatto il passo induttivo, portato la produttoria del secondo membro ad indice n e sostituito tramite l'ipotesi induttiva, e poi h o semplicemente portato gli indici delle sommatorie e produttorie a n cercando di riuscire ad usare di nuovo l'ipotesi induttiva ma non riesco ad uscire que prodotto dalla sommatoria, credo che ti abbia confuso la "folle" notazione ^^ comunque il "chiedo aiuto" era implicito

Testo nascosto:

Chiamo a=a_{n+1}, allora (tenendo sempre gli indici tra 1 e n) facendo qualche conto (svolgo tutto quello dove compare a) arrivo a ricondurre il passo induttivo a questo:
$\displaystyle 1+\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{a_i}\prod_{i≠ j}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)+\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{a_i(a-a_i)}\prod_{i≠ j}\left(1+\frac{1}{a_j-a_i}\right)+\frac{1}{a}\prod_{i=0}^n\frac{1}{a_i-a}=\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right)+\frac{1}{a}\prod_{i=0}^n\left(1+\frac{1}{a_i}\right)$
Prova a dimostrarlo sfruttando l'ipotesi induttiva applicata su LHS, trasformandolo pian piano in RHS... (applica l'ipotesi induttiva al primo e all'ultimo addendo di LHS... poi vedi che esce e riapplicalo di nuovo a quello che vedi )

dario2994 ha scritto:Mi chiedevo se esiste una motivazione in qualche modo profonda per cui questo vale... insomma, chi ha trovato l'identità come diavolo ha fatto (ma poi "è nota?" (che vuol dir poco... ma insomma... ha un nome? è famosa in qualche strana branca della matematica? ) )