OliForum Matematico

Provare che:
$ F_{2n} = \frac{F_{2n+2}^3 + F_{2n-2}^3}{9} - 2F_{2n}^3 \forall n \geq 2$
Con $ F_n $ n-esimo numero di Fibonacci ($ F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \forall n \in \mathbb{N} $)

In quanto homo novus delle staffette ( non avevo mai risolto un problema delle staffette prima d'ora ) chiedo: se uno ha già risolto un problema, può risolverne un'altro della stessa staffetta ?

Mist ha scritto:In quanto homo novus delle staffette ( non avevo mai risolto un problema delle staffette prima d'ora ) chiedo: se uno ha già risolto un problema, può risolverne un'altro della stessa staffetta ?

Certamente, tutti quelli che vuoi.

La mia soluzione non ha niente di geniale, ma facendo i conti viene....
Riscrivo la tesi $18F_{2n}^3+9F_{2n}=F_{2n+2}^3 +F_{2n-2}^3=(F_{2n+2}+F_{2n-2})(F_{2n+2}^2-F_{2n+2}F_{2n-2}+F_{2n-2}^2)$ e dimostro che $F_{2n+2}+F_{2n-2}=3F_{2n}$:
$F_{2n+2}+F_{2n-2}=F_{2n+1}+F_{2n}+F_{2n}-F_{2n-1}=3F_{2n}$
Quindi sostituisco nella mia tesi e devo dimostrare che $6F_{2n}^2+3=F_{2n+2}^2-F_{2n+2}F_{2n-2}+F_{2n-2^2}=(F_{2n+2}+F_{2n-2})^2-3F_{2n-2}F_{2n+2}=9F_{2n}^2-3F_{2n+2}F_{2n-2}$ che è vera se e solo se $F_{2n+2}F_{2n-2}=F_{2n}^2-1$.
LHS$=(F_{2n+1}+F_{2n})(F_{2n}-F_{2n-1}=F_{2n}^2+F_{2n}(F_{2n+1}-F_{2n-1})-F_{2n+1}F_{2n-1}=2F_{2n}^2-F_{2n+1}F_{2n-1}$
Quindi sostituisco e ottengo che l'equazione di partenza è vera se e solo se $F_{2n}^2=F_{2n-1}F_{2n+1}-1$ che dimostro per induzione:
PB $n=2$ da cui $3^2=2\cdot 5-1$
PI $F_{2n+2}^2=F_{2n+1}^2+F_{2n}^2+2F_{2n}F_{2n+1}=F_{2n+3}F_{2n+1}$ (l'ultima uguaglianza è da dimostrare)
Uso l'ipotesi induttiva e ottengo $F_{2n+1}^2+2F_{2n}F_{2n+1}=F_{2n}(F_{2n+3}-F_{2n-1})$
Semplifico per $F_{2n+1}$: $F_{2n+1}+2F_{2n}+F_{2n-1}=F_{2n+3}$ che è vera perché LHS$=F_{2n+2}+F_{2n+1}=F_{2n+3}$
Ho dimostrato l'uguaglianza quindi la tesi è vera.

paga92aren ha scritto:La mia soluzione non ha niente di geniale, ma facendo i conti viene....
Riscrivo la tesi $18F_{2n}^3+9F_{2n}=F_{2n+2}^3 +F_{2n-2}^3=(F_{2n+2}+F_{2n-2})(F_{2n+2}^2-F_{2n+2}F_{2n-2}+F_{2n-2}^2)$ e dimostro che $F_{2n+2}+F_{2n-2}=3F_{2n}$:
$F_{2n+2}+F_{2n-2}=F_{2n+1}+F_{2n}+F_{2n}-F_{2n-1}=3F_{2n}$

a me sembra che $F_{2n+2}+F_{2n-2}=F_{2n+1}+F_{2n}+F_{2n}-F_{2n-1}=2F_{2n}$

Mist ha scritto:$F_{2n+2}+F_{2n-2}=F_{2n+1}+F_{2n}+F_{2n}-F_{2n-1}=2F_{2n}$

Non è vero: $2F_{2n}+F_{2n+1}-F_{2n-1}=2F_{2n}+F_{2n}=3F_{2n}$
Mi fa piacere che qualcuno legga la mia dimostrazione nonostante la bruttezza dei conti

Aaah ! che pirla che sono, avevo confuso un + con un meno nei pedici

I calcoli servono per fare matematica, ci manca altro che non li leggo, sono chiarificatori di solito Ora vado avanti a leggerla...

paga92aren ha scritto:La mia soluzione non ha niente di geniale, ma facendo i conti viene....
Riscrivo la tesi $18F_{2n}^3+9F_{2n}=F_{2n+2}^3 +F_{2n-2}^3=(F_{2n+2}+F_{2n-2})(F_{2n+2}^2-F_{2n+2}F_{2n-2}+F_{2n-2}^2)$ e dimostro che $F_{2n+2}+F_{2n-2}=3F_{2n}$:
$F_{2n+2}+F_{2n-2}=F_{2n+1}+F_{2n}+F_{2n}-F_{2n-1}=3F_{2n}$
Quindi sostituisco nella mia tesi e devo dimostrare che $6F_{2n}^2+3=F_{2n+2}^2-F_{2n+2}F_{2n-2}+F_{2n-2^2}=(F_{2n+2}+F_{2n-2})^2-3F_{2n-2}F_{2n+2}=9F_{2n}^2-3F_{2n+2}F_{2n-2}$ che è vera se e solo se $F_{2n+2}F_{2n-2}=F_{2n}^2-1$.
LHS$=(F_{2n+1}+F_{2n})(F_{2n}-F_{2n-1}=F_{2n}^2+F_{2n}(F_{2n+1}-F_{2n-1})-F_{2n+1}F_{2n-1}=2F_{2n}^2-F_{2n+1}F_{2n-1}$
Quindi sostituisco e ottengo che l'equazione di partenza è vera se e solo se $F_{2n}^2=F_{2n-1}F_{2n+1}-1$ che dimostro per induzione:
PB $n=2$ da cui $3^2=2\cdot 5-1$
PI $F_{2n+2}^2=F_{2n+1}^2+F_{2n}^2+2F_{2n}F_{2n+1}=F_{2n+3}F_{2n+1}$ (l'ultima uguaglianza è da dimostrare)
Uso l'ipotesi induttiva e ottengo $F_{2n+1}^2+2F_{2n}F_{2n+1}=F_{2n}(F_{2n+3}-F_{2n-1})$
Semplifico per $F_{2n+1}$: $F_{2n+1}+2F_{2n}+F_{2n-1}=F_{2n+3}$ che è vera perché LHS$=F_{2n+2}+F_{2n+1}=F_{2n+3}$
Ho dimostrato l'uguaglianza quindi la tesi è vera.

Mi sembra tutto giusto... puoi procedere ad aggiornare il topic della staffetta e proporre il nuovo problema (se nessuno nota un errore che non ho visto)

Qui il prossimo problema