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Si consideri l’equazione:
$
x^{2007}=y^x
$
Determinare tutte le soluzioni (x, y) con x e y interi positivi.

Le soluzioni sono $ (1;1)(2007;2007)(3;3^{669})(669;669^3)(9;9^{223})(223;223^9) $

Analizziamo bene questa uguaglianza. $ x^{2007} $ è "divisibile per $ x $", cioè, è divisibile per potenze di $ x $. EDIT (non voglio dire che non sia divisibile pr altro, forse non ci andava il solo, mi sono espresso male, ma intendevo che posso vederlo come una potenza e quindi divisibile 2007 volte per x)
Di conseguenza anche $ y $ per lo stesso motivo o dovrà essere uguale ad $ x $, oppure dovrà essere una potenza di $ x $.
Analizziamo i casi:
1) $ x=y $ le uniche soluzioni sono ovviamente $ (1;1) $ e $ (2007;2007) $
2) $ y $ è una potenza di $ x $ (o viceversa).
Se $ y $ fosse uguale ad una potenza di $ x $, allora sarebbe $ y=x^n $ e di conseguenza otterremmo l'uguaglianza $ x^{2007}=x^{nx} $, da cui ricaviamo $ 2007=nx $, che da: $ (1;2007)(2007;1)(3;669)(669;3)(9;223)(223;9) $;
escludendo le prime due di cui ho trovato già la soluzione, ottengo per $ x $ e $ y $ : $ (3;3^{669})(669;669^3)(9;9^{223})(223;223^9) $
Se $ x $ fosse uguale ad una potenza di $ y $, otterremmo $ y^{2007n}=y^{y^{n}} $, da cui $ 2007n=y^n $ e poichè 2007 per essere una potenza di qualcosa (escludendo gli indici uno che ho già trattato) dovrebbe contenere il fattore 223, se ne deduce chiaramente che per ogni fattore 223 che attribusco a n y conterrà 223 nuovi fattori, e così via (anche considerando poi i fattori 3).

EDIT: Claudio non avevo ancora visto il tuo post. comunque mi pare tu non abbia considerato il caso in cui x fosse una potenza di y (anche se poi non genera soluzioni)

staffo ha scritto:$ x^{2007} $ è "divisibile solo per $ x $", cioè, è divisibile solo per potenze di $ x $.

Questo non è vero ^^

Non ho capito niente di quello che hai detto per il caso $x=y^n$ Più che altro basta dire che ydeve essere multiplo di 2007 quindi minimo 2007, e $2007^n\ge2007n$ e l'uguaglianza si ha solo per 1 che effettivamente ci da una soluzione ma che abbamo già considerato.

e mi sono spiegato male forse (senza il forse). Volevo dire che essendo $ 2007n = y^n 2007 $, contenendo i fattori$ 3,3,223 $, per essere una potenza (e consideriamo $ k^2 $) dovrà contenere il fattore 223 che gli manca) e quindi $ n=223 $. poi per essere una potenza del tipo$ k^3 $, dovrà$ n=223*3*223, $ e così avanti. Però ogni volta che si fà ciò aumentano i fattori di y e quindi non si avrà mai l'uguaglianza (che brutta spiegazione)