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La somma di 25 numeri naturali distinti fa 2010. Qual è il massimo valore che il più piccolo di essi può assumere?

Allora, il più piccolo avrà valore maggiore quando la differenza tra il primo e l'ultimo dei $ 25 $ numeri sarà minima; questa differenza deve essere, almeno, $ 24 $. Pongo dunque $ x+(x+1)+(x+2)+...+(x+24)=2010 $ da cui ricavo $ 25x + 300 =2010 $.

noto che questa somma non va bene, poichè $ x $ non viene intero (peccato, ci speravo tanto). Allora provo con valori successivi, aumentandola di uno, di due, etc.. Non devo provarli tutti, poichè devo solo fare in modo che $ 2010 - (300+k) $ sia divisibile per $ 25 $. Trovo presto che $ k=10 $.

Allora $ x+(x+1)+(x+2)+...+(x+15)+(x+17)+(x+18)+...+(x+26)=2010 $ (ho voluto distribuire le unità su tutti i membri per far vedere che la differenza tra il massimo e il minimo è cambiata solo di uno e non di dieci, così, perchè mi andava ahahah) Questa appunto è la somma di prima aumentata di 10, da cui ricavo $ 25x= 2010-310 $ e $ x=68 $

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Confermo!

Comunque in generale la somma di numeri consecutivi da m a n è $\frac{(n+m)(n-m+1)}2$(la dimostrazione è molto semplice), viene 25x+300. Adesso poni $25x+300\le2010$ e ottieni $x\le68$ (negli interi) e il problem è finito, poichè la somma da 68 a 68+24 è minore di 2010 quindi bastra sostituire l'ultimo addendo con quello opportuno.