OliForum Matematico

Nel libro di Hardy e Wright c'è un teorema che afferma $ \displaystyle\sum_{d\mid m} \phi(d)=m $. Nella dimostrazione viene scritto quanto segue $$ \sum_{d\mid m} \phi(d)=\sum_{p,{c_1}}\prod \phi(p^{c_1})=\prod_{p} \{1+\phi(p)+\phi(p^2)+...+\phi(p^c)\}$$ dove $d=\prod p^{c_1}$ e $m=\prod p^c$.
Io non ho capito l'ultima uguaglianza.Sapreste spiegarmela,magari con qualche passaggio in più?

è un'applicazione della distributività: il fatto chiave è che gli indici su cui variano $p$ e $c_1$ sono indipendenti.
una versione (molto) baby dovrebbe essere questa:
$\displaystyle\sum_{i,j} a_ib_j = \left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right)$.
se non sei convinto, prova a scriverti la somma per -che ne so-, n=6,12,18,24,30 e vedi che succede.

[mini-divagazione]: questa cosa si può dire in modo più breve usando un altro linguaggio (vedi qui, con la cautela che va presa leggendo i messaggi di hitleuler), dicendo che "la convoluzione di due funzioni moltiplicative è moltiplicativa".
e qui va definita la convoluzione $f*g(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\frac{n}{d})$.

per inciso, c'è una dimostrazione molto più elegante, dell'identità $\sum\phi(d) = n$:

Grazie,ora è molto più chiara la situazione,ma il libro dice che è per la moltiplicatività(e quello lo avevo già capito).

ok, quindi la risposta è contenuta nella mia mini-divagazione (che di per sé costituisce un buon esercizio).