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E' possibile trovare luoghi geometrici che non siano solo rette o circonferenze per via sintetica (euclidea/proiettiva)? Restringiamoci pure all'insieme delle coniche. So che ogni conica ha la sua definizione "sintetica" (somma/differenza delle distanze da due punti fissati o stessa distanza da un punto e una retta fissati), però penso sia molto difficile trovare questi punti/rette fissati e poi far vedere che vale quella relazione... è meglio lasciare queste faccende alla geometria analitica (dove di solito diventano solo conti e conti)?

Se accetti le tecniche proiettive tra quelle sintetiche, allora puoi anche sperare di dimostrare che una certa cosa è un'iperbole o una parabola. Altrimenti è assai complicato. A parte ovviamente i casi in cui il problema è fatto apposta:

hai un segmento $AB$ e una semicirconferenza $\Gamma$ che abbia $AB$ come diametro; trova il luogo dei centri delle circonferenze tangenti ad $AB$ e tangenti a $\Gamma$.

Un esempio di utilizzo di tecniche proiettive può essere questo: dati un segmento $AB$ e una retta $r$ ad esso parallela, trova il luogo degli ortocentri dei triangoli $ABC$ al variare di $C\in r$.

OK grazie si riescono anche a fare cose del tipo:

In un triangolo isoscele su base AB, trovare il luogo dei piedi delle bisettrici che partono da B al variare di C

Perchè forse non mi è chiaro di che tecniche tu stia parlando, io di proiettiva conosco polo-polare, birapporti e cosette del genere... ci sono dei fatti sulle coniche da sapere?