OliForum Matematico

Mi spiegate come si risolvono questi problemini?

1)

Ad una riunione partecipano 10 persone, ciascuna delle quali stringe la mano ad esattamente
altre 3. Determinare il numero totale di strette di mano.
(A) 10 (B) 15 (C) 30 (D) 60

La risposta giusta è la B.

2) Qual'è la probabilità di ottenere almeno una volta 6 lanciando 6 dadi?

3) Determinare quante sono le combinazioni al superenalotto (cio`e le sestine composte da 6
numeri distinti tra 1 e 90) che contengono esattamente tre numeri pari.

Grazie

Se nessuno degli studenti esperti risponderà in tempi ragionevoli, lo farò io quanto prima. E' però giusto che io rispetti le gerarchie del forum

Bon, provo, sono molto arrugginito in calcolo combinatorio ( come in tdn):

2)allora... $p(\mbox{che esca almeno un 6})+p(\mbox{che non esca nessun 6}) = 1$. siccome i casi totali sono $6^6$ ( prova a farti una tabellina con una riga e 6 colonne: puoi scegliere per ogni colonna 6 risultati possibili, e quindi hai in tutti $6^6$ casi) e essendo $p(\mbox{che non esca nessun 6}) = \frac{5^6}{6^6}$ perché, facendo la stessa tabellina di prima, vedi che hai ora 5 scelte per casella e non 6, si ha che la probabilità cercata è $\frac{6^6-5^6}{6^6}$. Capisci il ragionamento scritto così ? Che se no è inutile che scrivo quello dopo, dimmi dove non capisci

E soprattutto: è giusto fare come faccio io ?

Grazie, ho capito (tranno quel discorso della tabella)

Gli altri quesiti sono 2

1) Ad una riunione partecipano 10 persone, ciascuna delle quali stringe la mano ad esattamente altre 3. Determinare il numero totale di strette di mano.
3) Determinare quante sono le combinazioni al superenalotto (cio`e le sestine composte da 6 numeri distinti tra 1 e 90) che contengono esattamente tre numeri pari.

Mist ha scritto:Bon, provo, sono molto arrugginito in calcolo combinatorio ( come in tdn):

2)allora... $p(\mbox{che esca almeno un 6})+p(\mbox{che non esca nessun 6}) = 1$. siccome i casi totali sono $6^6$ ( prova a farti una tabellina con una riga e 6 colonne: puoi scegliere per ogni colonna 6 risultati possibili, e quindi hai in tutti $6^6$ casi) e essendo $p(\mbox{che non esca nessun 6}) = \frac{5^6}{6^6}$ perché, facendo la stessa tabellina di prima, vedi che hai ora 5 scelte per casella e non 6, si ha che la probabilità cercata è $\frac{6^6-5^6}{6^6}$. Capisci il ragionamento scritto così ? Che se no è inutile che scrivo quello dopo, dimmi dove non capisci

E soprattutto: è giusto fare come faccio io ?

E' giusto, ma si può ragionare in modo più lineare: la probabilità che non esca un 6 in ciascun lancio è 5/6, quindi la probabilità che non esca alcun 6 in 6 lanci è $ \left(\frac 5 6 \right)^6 $, quindi la probabilità di avere almeno un 6 è il suo complementare.
Per gli altri quesiti non ci prova nessuno?

Metto una soluzione hide per Olivo che sarà interessato a vederla e per non rubare ai nuovi questi quesiti semplici (modificata soluzione 3):

staffo ha scritto:Metto una soluzione hide per Olivo che sarà interessato a vederla e per non rubare ai nuovi questi quesiti semplici:

Testo nascosto:

1)Ogni persona stringe la mano 3 volte. Se moltiplico le tre strette per le 10 persone, ottengo 30 strette di mano, in cui però ho contato due volte una stessa stretta di mano (a-->b e b-->a); quindi mi basta dividere per due e ottengo 15.
3)sono le combinazioni di 90 elementi a 6 a 6, cioè $ {90\choose6} $; per capirci meglio, tu hai 90 possibilità per estrarre il primo numero, 89 per il secondo..., 85 per il sesto. facendo così hai contato troppo, poichè hai contato anche le sestine in cui ci sono gli stessi numeri cambiati di ordine, quindi devi dividere per il numero di permutazioni degli elementi (come un anagramma). Il risultato è appunto $ \frac{90!}{85!6!} $

La seconda risposta è sbagliata. Tu hai contato tutte le sestine di 90 numeri, e non quelle contenenti 3 numeri pari e 3 dispari.

Allora, i numeri pari compresi tra 1 e 90 sono banalmente 45 e di soneguenza abbiamo 45 dispari. ottimo.
ora, basta che consideri come sei caselle vuote contigue e distinte del gioco "la ruota della fortuna" ( ecco la tabellina di cui parlavo prima XD): hai per le caselle che devono contenere un numero pari in tutto $45^3$ posibilità e lo stesso vale per le caselle di posto dispari. ora, devi però vedere come cambia la csoa se cambi l'ordine de par dispari nelle caselline (conti insomma ora imodi in cui puoi scrivere sto numero... PPPDDD, PDPDPD eccetera... otteniamo banalmente quind che abbiamo in tutto $\binom{6}{3}45^3\cdot 45^3$ sestine di numeri cercati. ovviamente in questo caso si sno contate le sestine ordinate, ovvero conta l'ordine con cui escono i numeri...

Non so se il mio ragionamento è giusto, sono un po' di frtta...

Sperochela csoa della tabellina sia chiara, grazie al mtico Mike e al suo gioco XD

Mist, non mi torna

Bon a sto punto mi lancio pure io, all'inizio non l'avevo scritto perchè mi sembrava ovvio, ma sto perdendo le mie certezze

Scelgo i pari in $ \binom{45}{3} $ e i dispari sempre in $ \binom{45}{3} $ modi. I casi totali sono $ \binom{90}{6} $ e quindi $ P=\frac{\binom{45}{3}\cdot\binom{45}{3}}{\binom{90}{6}} $ che è circa 0,32 quindi sembrerebbe ragionevole...

Sbaglio perché non conto il caso in cui si hanno dei numeri uguali tra loro ?

No sbagli proprio perchè conti come se ci potessero essere numeri uguali fra loro e perchè conti alnche l'ordine che invece non è influente(al superenalotto ovviamente l'ordine non è importane ).

XD graze claudio, ma intendevo con "non conto il caso" intendevo dire " non tengo conto del caso ( e quindi ne prendo di più)"

grazie per i chiarimenti, starò attento a non mettere troppi "ordini" nei conteggi !

Non mi è ancora chiaro questo esercizio:

Determinare quante sono le combinazioni al superenalotto (cio`e le sestine composte da 6
numeri distinti tra 1 e 90) che contengono esattamente tre numeri pari.

Si parla di 6 numeri presi tra 1 e 90, tali che 3 di essi siano dispari e 3 pari. Cos'è che non ti è chiaro?