OliForum Matematico

Ragazzi, qualcuno mi spiega l'esercizio 10 della gara di febbraio del 2008 http://olimpiadi.sns.it/download.php?id=102 ?
Non vi posto qua la domanda perchè ci sono delle frazioni e mi risulta impossibile

ma, allora, tu sai che qualunque polinomio di grado n è esprimibile nella forma $\prod_{r=1}^{n}(x-x_n)$. IN questo caso abbiamo quindi che $x^4-2x^3-7x^2-2x+1 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) = x^4 +(-x_1-x_2-x_3-x_4)x^3 +(x_1x_2+x_3x_2+x_3x_1+x_4x_3+x_1x_4+x_2x_4)x^2 +(-x_1x_2x_3-x_2x_3x_4-x_1x_2x_4-x_1x_3x_4)x +x_1x_2x_3x_4$ e quindi abbiamo che
$-2=-x_1-x_2-x_3-x_4$,
$-7=x_1x_2+x_3x_2+x_3x_1+x_4x_3+x_1x_4+x_2x_4$,
$-2=-x_1x_2x_3-x_2x_3x_4-x_1x_2x_4-x_1x_3x_4$,
$1=x_1x_2x_3x_4$.
Ma $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4} = \frac{-(x_1x_2x_3-x_2x_3x_4-x_1x_2x_4-x_1x_3x_4)}{x_1x_2x_3x_4} = \frac{2}{1} = 2$

Comunque per imparare le cose base in $\LaTeX$ ci vuole pochissimo

ma, allora, tu sai che qualunque polinomio di grado n è esprimibile nella forma

no, non lo so.
Puoi approfomdire un attimo questa cosa che non compromette la corretta compressione?

ok, scusami... Francamente non conosco la dimostrazione ( non ne ho mai avuto bisogno), ma se vedi, un polinomio di II grado è espriibile nella forma $(x-x_1)(x-x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono numeri qualsiasi (questo dovresti saperlo, sei in II...). Bon, ora la stessa cosa vale epr un polinomio di terzo grado che, andando a zero per tre numeri, è esprimibile come $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ ( se infatti sostituisci ad x uno dei tre numeri, vedi ceh va a zero il polinomio...). Ora puoi intuire la generalizzazione, ovvero quella ceh ho scritto sopra. Forse nont i era chiaro per il simbolo di produttoria ($\prod_{n=1}^{k}a_i = a_1a_2\dots a_k$) chiaro ? Chiedo al massimo a qualcuno di spiegartelo meglio, non sono braavissimo io...

un polinomio di II grado è espriibile nella forma dove e sono numeri qualsiasi (questo dovresti saperlo, sei in II...).

Bè, ad esempio x^2 -x + 2 è uguale a (x-2)(x+1)...
Non capisco bene cosa intendi con quella formula ...

Non sono numeri qualsiasi sono le radici del polinomio.

Mai studiata sta roba...

yes, ho scritto male, se vedi poi lo chiarisco, mi sono espresso male era solo epr dire "attento, che quelle cose con i pedici non sono solo numeri naturali come vedi spesso a scuola !!!" Guarda Ruffini

Comunque pensandoci la dimostrazione non è molto difficile: Hai un polinomio $p(x)$ ed hai che $ P(x_1)=0 $, allora applichi ruffini e hai $ p(x)=(x-x_1)q(x) $ reiterando il procedimento finchè $ q(x) $ viene di primo grado ottieni p$ (x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).... $ con gli $ x_i $ radici del polinomio. Ci sarebbero tante precisazione da fare, in particolare che si considera il coefficiente di grado massimo quando è 1, ci sarebbero probabilmente anche altre cose ma in questo ambito va bene così XD

Nin ho capito bene la risoluzione... Claudio, me la spiegheresti un po' meglio ?

Altra domanda: 3 divide 0? 3 divide -3?