Limiti e casi di indecisione
Inviato: 31 gen 2011, 15:04
Allora, oggi mentre studiavo mi è venuto in mente un modo per calcolare i limiti per $ x $ tendente ad un valore finito nei casi di indecisione $ \frac {0}{0} $; non so se è già conosciuto e si usa, e oltretutto se è molto utile, se non per indecisioni elementari banali quali, ad esempio $ \lim_{x \to 0}{\frac{sinx}{x}} $.
La mia idea era di derivare numeratore e denominatore e, sfruttando l'idea che la tangente approssima bene la funzione per un intorno molto piccolo del punto $ x_0 $, calcolare il limite del rapporto delle derivate, poichè, se entrambe le funzioni tendono a zero, l'unica cosa che importa, diciamo, è il coefficiente della tangente. Ovviamente dirlo così non ha molto senso, quindi mi servirebbe una dimostrazione a riguardo, però ragionevolmente suppongo che funzioni. Oltretutto volevo sapere se è un metodo già utilizzato oppure no.
Il metodo applicato sarebbe così: $ lim_{x \to 0}{\frac{1-cos{x}}{x^2}}=lim_{x \to 0}{\frac{sin{x}}{2x}}=lim_{x \to 0}{\frac{cos{x}}{2}}=\frac{1}{2} $
La mia idea era di derivare numeratore e denominatore e, sfruttando l'idea che la tangente approssima bene la funzione per un intorno molto piccolo del punto $ x_0 $, calcolare il limite del rapporto delle derivate, poichè, se entrambe le funzioni tendono a zero, l'unica cosa che importa, diciamo, è il coefficiente della tangente. Ovviamente dirlo così non ha molto senso, quindi mi servirebbe una dimostrazione a riguardo, però ragionevolmente suppongo che funzioni. Oltretutto volevo sapere se è un metodo già utilizzato oppure no.
Il metodo applicato sarebbe così: $ lim_{x \to 0}{\frac{1-cos{x}}{x^2}}=lim_{x \to 0}{\frac{sin{x}}{2x}}=lim_{x \to 0}{\frac{cos{x}}{2}}=\frac{1}{2} $
