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Sia dato un triangolo $ ABC $ e tre punti $ A_1,B_1,C_1 $ rispettivamente sui lati $ BC, CA, AB $; siano $ M_a, M_b, M_c $ i punti medi dei lati $ BC,CA,AB $; sia $ A_2 $ il simmetrico di $ A_1 $ rispetto a $ M_a $ e siano definiti analogamente i punti $ B_2,C_2 $. Siano $ \gamma_{a1},\gamma_{b1},\gamma_{c1}, \gamma_{a2}, \gamma_{b2},\gamma_{c2} $ le circonferenze circoscritte rispettivamente ai triangoli $ AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C, AB_2C_2, A_2BC_2, A_2B_2C $.
1) Dimostrare che $ \gamma_{a1},\gamma_{b1}, \gamma_{c1} $ si incontrano tutte in un punto $ P_1 $, e $ \gamma_{a2}, \gamma_{b2},\gamma_{c2} $ si incontrano tutte in un punto $ P_2 $.
2) Supponendo che tanto $ P_1 $ quanto $ P_2 $ siano interni al triangolo, dimostrare che gli angoli $ \widehat{P_1A_1B},\widehat{P_1B_1C},\widehat{P_1C_1A},\widehat{P_2A_2C},\widehat{P_2B_2A},\widehat{P_2C_2B} $ sono tutti uguali (chi vuole poi può generalizzare con gli angoli orientati).

Per come l'ho risolto io il punto 2 è da riformulare in questi altri termini:
Sia ABC un triangolo e siano a1, b1, c1 rette concorrenti che formano con i lati a,b,c del triangolo rispettivamente lo stesso angolo orientato $ \theta $ , ovvero $ (a1;a)=\theta $ e simili; siano a2, b2, c2 le simmetriche di a1, b1, c1 rispettivamente rispetto agli assi dei segmenti BC, CA, AB. Dimostrare che anche a2, b2, c2 concorrono.