OliForum Matematico

Mi sono imbattuto in un problema di combinatoria piuttosto semplice..

Quanti sono i monomi nelle variabili x, y, z e w aventi tutti coeffciente 1 e grado non superiore a 10?

Io ho trovato la soluzioe (1001) contando i monomi di grado 1, poi di grado 2, poi di grado 3 ecc....via via che il grado aumentava però era sempre più difficile e a rischio di errore trovare tutte le combinazioni di 4 numeri che sommati dessero di volta in volta il grado che stavo analizzando...

Poi leggendo la soluzione ho visto che potevo fare due semplicissime considerazioni: 1) considerare le quintuple di numeri che dessero 10 come somma 2) una volta notato questo, potevo usare la seguente formula , data per nota (ma che i non avevo mai visto xD data la mia ignoranza in combinatoria), usata per calcolare quante qunituple danno come somma 10:

$ \frac{(10+5-1)!}{10!(5-1)!} = 1001 $

Domanda: posso generalizzare e utilizzarla effettivamente come una formula? Mi spiego: data l'equazione $ x_1+x_2+...+x_n=k $, (k intero)($ x_i $ intero) le n-uple di naturali che la soddisfano sono esattamente:
$ \frac{(k+n-1)!}{k!(n-1)!} $ ?

Se sì, potete spiegarmi su che principio si basa? perchè funziona così? Sarebbe come contare i sottoinsiemi di k elementi tra (k+n-1) elementi, ma non capisco perchè questa cosa mi trovi tutte le n-uple

Grazie

Le combinazioni con ripetizione di n oggetti presi in numero k è $\binom{n+k-1}{k}$ e ti faccio notare che ciò equivale a dire che è il numero dei modi in cui puoi sistemare k oggetti uguali in n scatole diverse che è ciò che serve a te (tieni presente che in questo modo tieni conto dell'ordine nel senso che 5+4+1 è diverso di 4+1+5). Di Questo ti lascio il tentativo di dimostrazione ^^ in quel problema usa praticamente questo viewtopic.php?f=16&t=15532 prova a darne una dimostrazione combinatoria.