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Trovare le terne di soluzioni intere positive $ (n,p) $ di
$ p^2+n-3=6^n+n^6 $ , con $ p $ primo.




Io per prima cosa ho ragionato modulo 3:
1) Se n congruo a 0 -> p congruo a 0
2) Se n congruo a 1 -> p congruo a 0 (residui quadratici ect)
3) Se n congruo a 2 -> impossibile

Allora p congruo a 0 in ogni caso, quindi p=3.
Sostituisco e ottengo:
$ 6+n=6^n+n^6 $ e riscrivo come :
$ 6(1-6^{n-1})=n(n^5-1) $.

Siccome n è un numero positivo, $ (1-6^{n-1}) $ dovrà essere positivo. Questo avviene solo per n=1
Verifico con n=1 ed effettivamente l'uguaglianza è soddisfatta. L'unica soluzione (p,n) è quindi (3,1).

Va bene? non ho la soluzione $ $

Si, va bene...

Prima di guardare modulo 3, ti conviene trattare a parte il caso $n=0$. In questo caso, infatti, $6^n=6^0=1$ che non si semplifica modulo 3. Se $n=0$, svolti i conti viene $p=2$, quindi $(0,2)$ è soluzione.
L'analisi modulo 3 penso vada bene.
Una volta arrivato a $6+n=6^n+n^6$ puoi anche mostrare per induzione che $6^n > n+6$ per ogni $n\geq 2$, ma anche il tuo metodo va bene...

P.s. mentre scrivevo mi sono accorto che chiede le soluzioni "intere positive"... quindi in effetti $(0,2)$ non può essere soluzione, ma vabbé... lo lascio comunque come "ricordarsi di trattare i casi bassi che fanno fallire tutto a mano"

bĕlcōlŏn ha scritto:Prima di guardare modulo 3, ti conviene trattare a parte il caso $n=0$. In questo caso, infatti, $6^n=6^0=1$ che non si semplifica modulo 3. Se $n=0$, svolti i conti viene $p=2$, quindi $(0,2)$ è soluzione.
L'analisi modulo 3 penso vada bene.
Una volta arrivato a $6+n=6^n+n^6$ puoi anche mostrare per induzione che $6^n > n+6$ per ogni $n\geq 2$, ma anche il tuo metodo va bene...

P.s. mentre scrivevo mi sono accorto che chiede le soluzioni "intere positive"... quindi in effetti $(0,2)$ non può essere soluzione, ma vabbé... lo lascio comunque come "ricordarsi di trattare i casi bassi che fanno fallire tutto a mano"

Sì ma hai ragione, ho avuto fortuna che chiedesse solo quelle, perchè di (0,2) non mi ero nemmeno accorto xDD maledizione ** provare i casi bassi,provare i casi bassi,provare i casi bassi**