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Determinare le ultime 3 cifre di $ 111^{111} $

Dalle congruenze osservo che la cifra delle unità rimane sempre uno, la cifra delle decine aumenta costantemente di uno, la cifra delle centinaia aumenta di una quantità che aumenta di uno, più una unità ogni 10 potenze.

Abbiamo dunque cifra delle unità=$ {1} $
cifra delle decine=$ {1} $
cifra delle centinaia=$ \frac{n(n+1)}{2}+11 $=$ 7 $

correct!

O assolutamente in modo brutale:
$\displaystyle (100+11)^{111}=\sum_{k=0}^{111}{\binom{111}{k}100^{111-k}\cdot11^k}$ Adesso per k<110 le ultime 3 sono 0, quindi resta $111\cdot100\cdot11^{110}+11^{111}$ il primo finisce con 100, $11^{111}$
allo stesso modo vedi che finisce con 611, quindi il risultato 711.

staffo ha scritto:Dalle congruenze osservo che la cifra delle unità rimane sempre uno, la cifra delle decine aumenta costantemente di uno, la cifra delle centinaia aumenta di una quantità che aumenta di uno, più una unità ogni 10 potenze.

Abbiamo dunque cifra delle unità=$ {1} $
cifra delle decine=$ {1} $
cifra delle centinaia=$ \frac{n(n+1)}{2}+11 $=$ 7 $

come fai ad applicare le congruenze perfino qui?

Beh diciamo che non è che bastano le congruenze a risolverlo, il ragionamento è più o meno questo. Allora il valore della prima cifra è uguale a $111^{n}\equiv 1 \pmod{10}$, la cifra delle decine equivale a $111^{n}\equiv 11^n \pmod{100}$ da cui ti devi accorgere diciamo a mano che in $11^n$ le decine aumentano di 1.
Poi l'altro caso è fatto praticamente a mano e devi notare che la cifra delle centinaia è per n che cresce 1,1+2,1+2+3 ecc, a questo devi aggiungere che ogni volta che le decine diventano 10 le centinaia aumentano di 1.
Il mio metodo è diciamo più generale e quando le cifre che ti chiede non sono molte si può fare...

Claudio. ha scritto:Beh diciamo che non è che bastano le congruenze a risolverlo, il ragionamento è più o meno questo. Allora il valore della prima cifra è uguale a $111^{n}\equiv 1 \pmod{10}$, la cifra delle decine equivale a $111^{n}\equiv 11^n \pmod{100}$ da cui ti devi accorgere diciamo a mano che in $11^n$ le decine aumentano di 1.
Poi l'altro caso è fatto praticamente a mano e devi notare che la cifra delle centinaia è per n che cresce 1,1+2,1+2+3 ecc, a questo devi aggiungere che ogni volta che le decine diventano 10 le centinaia aumentano di 1.
Il mio metodo è diciamo più generale e quando le cifre che ti chiede non sono molte si può fare...

Scusami ma non ho capito niente. Me lo potresti rispiegare il più semplicemente possibile, tenendo conto del fatto che ho iniziato a studiare le congruenze ieri?
Anche se lo so che non andrò da nessuna parte ...