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Esistono interi positivi $a$ e $b$ tali che gli elementi della sequenza definita come:
$x_1=2010$
$x_2=2011$
$x_{n+2} = x_n + x_{n+1} + a\sqrt{x_nx_{n+1}+b}$ (con $n\geq1$)
sono tutti interi?

Per far si che la radice sia razionale (e quindi intera) devo fare in modo che $ 2010*2011 + b $ sia un quadrato perfetto. Quindi b può essere o $ 2011 $ o $ -2010 $, ma siccome deve essere intero, allora $ b=2011 $.
Poichè ogni termine della successione è diverso dal precedente, la $ b $ andrà bene se e solo se il prodotto $ x_{n}x_{n+1} $ rimarrà costante. Nell'imporlo costante otteniamo $ x_{n+2}=x_{n} $ e da questo ricaviamo $ a=-1 $.

Ci accorgiamo che $ a=-1 $ è contro le hp. Quindi non ci sono soluzioni.

Giusto?

EDIT: avete ragione b può anche essere $ n^2-(2010)(2011) $. ecco, mi ci rimetto....
EDIT2: allora, vediamo di riparare al danno.
Trovo $ x_3=2010+2011+a\sqrt{2010*2011+b} $
Impongo $ 2010*2011+b=n^2 $ e ricavo $ b=n^2-2010*2011 $
Quindi $ x_3=2010+2011+an $

Passo ad $ x_4=2011+2010+2011+an+a\sqrt{(2011)(2010+2011+an)+n^2-2010*2011} $
Impongo $ (2011)(2010+2011+an)+n^2-2010*2011=k^2 $
Adesso ricavo $ 2011(2011+an)=(k+n)(k-n) $. Siccome $ 2011 $ è primo, abbiamo
1) $ k-n=2011 $ e $ k+n=2011+an $, da cui ricavo $ 2n=an $ e quindi $ a=2 $
2) $ k+n=2011 $ e $ k-n=2011+an $, da cui ricavo $ 2n=-an $ impossibile.
(avevo visto il quadrato ma non ero sicuro includesse tutti i casi)

Dunque $ a=2 $

Quindi $ x_4=4*2011+2010+4n $

Adesso analizziamo $ x_5 $(sto soffrendo).
Dopo circa 10 minuti di passaggi in cui ci ho quasi perso la testa, ottengo che la quantità sotto radice è uguale a $ (3n+2010+2*2011)^2 $.

EDIT:Non riesco ad andare avanti, così non vado da nessuna parte, mi sa che devo coambiare strategia.... (ho capito molte cose ma non riesco ad andare avanti, se qualcuno ha la soluzione la posti pure perchè mi sono fortemente intoppato).

staffo ha scritto:Quindi b può essere o $ 2011 $ o $ -2010 $
Giusto?

No.

staffo ha scritto: Adesso ricavo $ 2011(2011+an)=(k+n)(k-n) $. Siccome $ 2011 $ è primo, abbiamo
1) $ k-n=2011 $ e $ k+n=2011+an $, da cui ricavo $ 2n=an $ e quindi $ a=2 $
2) $ k+n=2011 $ e $ k-n=2011+an $, da cui ricavo $ 2n=-an $ impossibile.
(avevo visto il quadrato ma non ero sicuro includesse tutti i casi)
Dunque $ a=2 $

Chi ti dice che hai esattamente, ad esempio, $k-n=2011$? Potresti anche avere $k-n=2011\cdot t$ e $k+n=\dfrac{2011+an}{t}$...
Puoi dire al massimo che se $a=2$ quello è un quadrato, non che se quello è un quadrato allora $a=2$.

Ricordate che il problema chiede se "esistono". Quindi o dimostrate che non esistono o mi dite "ti faccio vedere che questa coppia funziona", non le voglio tutte

@Claudio

allora...

$x_3 = 4021 +a\sqrt{2010\cdot 2011 +b}$ e quindi $b=x^2-2010\cdot 2011$ da cui $x_3 = 4021+ax$
Ora, $x_4 = 2011 + 4021+ax +a \sqrt{2011(4021+ax)+x^2-2010\cdot 2011} = 6032+ax +a \sqrt{2011^2+ax2011+x^2}$ da cui si deduce che $a=2$ e quindi
$x_2 = 4021 +2x$ e $x_4 = 603+2x+2(x+2011) = 10054+4x$
ora quindi si ha che $x_5 = 14075+6x+2\sqrt{(10054+4x)(4021 +2x) + x^2-2010\cdot 2011}$
L'espressione sotto la radice, fattorizzata dopo immani fatiche (del computer ), è pari a $(3x+6032)^2$ e quindi
$x_5 = 20107+9x$
$x_6 = 20107+9x+10054+4x+2\sqrt{(10054+4x)(20107+9x) + x^2-2010\cdot 2011}$ e da qui posso concludere solamente che $2|x$ analizzando modulo 4
Affidatomi a wolfram, ottengo che quell'affare non è mai un quadrato (Credo, spero...) . e che quindi NON esistono due numeri $a$ e $b$ tali che quella successione contiene solo numeri interi

Se esiste una soluzione che non sia un delirante ammasso di calcoli, son curioso di vederla

Sper di non aver fatto errori cretini di calcolo...

Mist ha scritto: Ora, $x_4 = 2011 + 4021+ax +a \sqrt{2011(4021+ax)+x^2-2010\cdot 2011} = 6032+ax +a \sqrt{2011^2+ax2011+x^2}$ da cui si deduce che $a=2$.

Da cosa deduci $a=2$?

dal fatto che se no quel robo sotto la radice non è fattorizzabile...

COmunque mi sa che ho detto una sciocchezza, forse esiste un $x$ che soddisfa le condizioni, devo pensarci...

Quello che dici tu, cioè che sia fattorizzabile ovrebbe valere se vogliamo che il radicando sia un quadrato perfetto per ogni x, mentre questo non è necessario per il problema...potrebbe anche esistere una sola x che va bene e il problema è concluso.

Pongo a=2:
Allora vale (stando attenti alla radice finale... dovrei mettere il modulo... ma insomma, è chiaro che va bene pure senza... e poi cambia poco... ) :
$x_{n+2}=x_n+x_{n+1}+2\sqrt{x_nx_{n+1}+b}\Rightarrow (x_{n+2}-x_n-x_{n+1})^2=4x_nx_{n+1}+4b\Rightarrow (x_{n+2}-x_n+x_{n+1})^2=4x_{n+1}x_{n+2}+4b\Rightarrow x_{n+2}-x_n+x_{n+1}=2\sqrt{x_{n+1}x_{n+2}+b}$
Da cui:
$x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+2\sqrt{x_{n+2}x_{n+1}+b}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_{n+2}-x_{n}+x_{n+1}$
E da questa formula ricaviamo che se $x_1,x_2,x_3$ sono interi allora lo sono tutti... se pongo $b=x^2-2010\cdot 2011$ funge. (tipo $b=2011$ )

Io mi stavo chiedendo ed è il motivo di tutto ciò... ma $a=2$ non potrebbe essere l'unica... io ne sono convinto, ma ero convinto anche che fosse impossibile esistessero a,b e invece
Perciò rilancio, ma non so la soluzione

Bonus
Trovare tutti gli $a,b\in \mathbb{N}_0$ tali che $x_n$ è sempre intero...

Ovviamente claimo siano tutte e sole le coppie della forma $(2,x^2-x_1x_2)$