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Trovare tutti gli $x \in \mathbb N : x^x-2^x-x^2=10$

Claudio. ha scritto:Trovare tutti gli $x \in \mathbb N : x^x-2^x-x^2=10$

Noto che per x=3 ottengo l'uguaglianza, ora dimostro per induzione che:

Se $ x \geq 3 $ allora $ (x+1)^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^x - 2^x - x^2 $
Passo base: x=3, ottengo 224 > 10.
Passo induttivo: è verificato dal momento che $ (x+1)^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^x - 2^x - x^2 $. Il secondo > vale perchè equivale a:
$ x^x(x-1) > 2^x + 2x + 1 $ che è vero poiché $ x^x(x-1) > 2^{x+1} > 2^x + 2x + 1 $. Qui il primo > vale se pongo x=2 alla base ma non all'esponente e il secondo > è vero perchè equivale a:
$ 2^x > 2x+1 $ che è vera per $ x \geq 3 $.
Quindi l'unica soluzione è x=3.

Volendo anche una dimostrazione con studio della funzione non è tanto lunga (ci ho messo più a ricordarmi la derivata di $ x^x $ che a fare tutto il resto xD ) trovo che l'eq. ha una soluzuione e che per esempio è compresa tra 2 e 4.. poi si trova.

Trovo $ x=3 $ che è soluzione.
Ora verifico che $ x^x>2^x+x^2+10 $
Induzione:
1)$ x_0=4 $ verificato
2)$ (x+1)^{x+1}>x^{x+1}=x(x^x)>x(2^x)+x^3+10x>2(2^x)+x^2+2x+1+10 $
E l'ultima è banalmente vera perchè $ x(2^x)>2(2^x) $; $ x^3>x^2 $; $ 8x>11 $.

$ 3 $ è l'unica soluzione.

EDIT: cavoli ho visto dopo la soluzione . Ma solitamente non ti avvisa se c'è già altri post messi prima di te?

amatrix92 ha scritto:Volendo anche una dimostrazione con studio della funzione non è tanto lunga (ci ho messo più a ricordarmi la derivata di $ x^x $ che a fare tutto il resto xD ) trovo che l'eq. ha una soluzuione e che per esempio è compresa tra 2 e 4.. poi si trova.

Beh mostrare che la derivata $x^x(\ln x+1)-2^x\ln2-2x>0$ per $x>2$ non semplicissimo...
EDIT: si è semplice ^^
Ma teoricamente semplicemente dire che poichè per $x>1$, $x^x$ cresce più velocemente di $2^x$ e che per $x=2\Rightarrow x^x-2^x=0$ allora per $x>2, $ $x^x-2^x$ è strettamente crescente e inoltre al crescere della x essa cresce sempre più velocemente quindi siccome per $x=3 \Rightarrow x^x-2^x=10+x^2$ allora per $x>3$, $3x^x-2^x>10+x^2$, sono fatti molto intuitivi devo in ogni caso dimostrarli rigorosamente?

Uhm, io non ci sono passato di lì. Diciamo che non ho fatto uno studio di funzione esemplare. Allora ho scritto la funzione come $ x^x = x^2 + 2^x +10 $ e ho studiato separatamente le due funzioni, poi tra il fatto che avevano sempre la stessa concavità (per x>0) che avevano un solo punto di minimo. Allora sostituendo un valore abbastanza grande vedo che x^x cresce di più dell'altro. Ok si credo di aver già capito dove sbaglio. Così posso al massimo dire che ci sono al più 2 punti in cui accade (credo). Non me ne ero accorto.