33. Disuguaglianza (staffetta)

[Anér]

Per riprendere la staffetta ecco il nuovo problema.
Siano $ a,b,c\in\mathbb{R} $
Dimostrare che
$ a^4+b^4+c^4+3a^2b^2+3b^2c^2+3c^2a^2\geq 2a^3b+2ab^3+2b^3c+2bc^3+2c^3a+2ca^3 $
o in linguaggio più sintetico
$ \sum_{cyc}a^4+3\sum_{cyc}a^2b^2\geq 2\sum_{cyc}a^3b+2\sum_{cyc}ab^3 $
E se ne avete voglia determinate anche i casi di uguaglianza.

[patatone]

non credo ai miei occhi perchè mi sembra troppo semplice, ma la disuguaglianza non è equivalente a:
$\displaystyle\frac 1 2\sum_{cyc}(a-b)^4\ge 0$
?

[ndp15]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a^ ... 3a%2B2ca^3
Vale come soluzione?

[Anér]

Uffa, è la seconda volta che invento una disuguaglianza e non mi rendo conto che è banale. Boh, decidete voi chi sarà il prossimo della staffetta. La mia idea era $ \sum_{cyc} (a^2+bc-ab-ac)^2\geq 0 $.
Usando Wolfram si arriva all'identità $ (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2=\sum_{cyc} (a^2+bc-ab-ac)^2 $.

[jordan]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a^ ... 3a%2B2ca^3
Vale come soluzione?

Non si apre nulla dal link..

Edit: Waa fico quel sito O.o
Comunque la soluzione di patatone io non l'ho capita..

[patatone]

Comunque la soluzione di patatone io non l'ho capita..

in che senso? Ho scritto quella roba come somma di potenze quarte >=0....
se provi a fare i conti ti viene esattamente la disuguaglianza iniziale

[Mist]

Bona, patatone è il vincitore, ha postato la soluzione per primo, che si posti il successivo problema

[jordan]

Comunque la soluzione di patatone io non l'ho capita..

in che senso? Ho scritto quella roba come somma di potenze quarte >=0....
se provi a fare i conti ti viene esattamente la disuguaglianza iniziale

La pigrizia di non svolgere i conti fa brutti scherzi xD