OliForum Matematico

mi sono iscritto ieri, girando per il forum ho trovato un pdf con il programma di preparazione alle olimpiadi che ho scaricato...

ho provato a fare degli esercizi ma mi blocco, qualcuno può farmi vedere come si fanno?

(intanto vi scrivo quello che ho fatto così vedete i miei ragionamenti)

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2. Quanti lanci di un dado devi fare per essere sicuro che sia uscita 12 volte una stessa faccia?
3. Dimostra per induzione che $ n2 > 10n $ per n grandi.
4. Dimostra che la somma dei primi n quadrati è $ n(n +1)(2n +1)/6 $
5. Dimostra che la somma dei primi n cubi è$ [n2(n +1)2]/4 $

le mie prove:

2. in un dado la probabilità di uscita di un numero rispetto ad un altro è uguale (non so dimostrarlo e questo già non va bene perchè la soluzione non è corretta se non dimostro tutto quello che faccio, ma so che è così, quindi lascio stare per ora e continuo con il mio problema)

secondo me devo moltiplicare il numero delle facce del dado per 12 ma anche qui non ho un metodo di ragionamento, è più intuito
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3. intanto risolvendo la disequazione mi dice che $ n^2 > 10n $ se $ n > 10 $ quindi posso rendere $ n = 11 $ come partenza e poi vedere se da li in poi vale per ogni numero

intanto riscrivo la proposizione in questo modo : $ (10+n)^2 > 10(10+n) $

vediamo se n = 1 : 121 > 110

e ci siamo

vediamo se vale per ogni n: $ (10+n+1)^2 > 10(10+n+1) $
$ 10^2 +n^2 +1 + 20n + 20 + 2n > 10^2 + 10n + 10 $

e si vede subito che ero perchè al primo membro compaiono gli stessi termini del secondo ma, in più si sommano altri termini (positivi)

quindi è dimostrato per ogni n abbastanza grande ( n>10)
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4. la somma dei primi n quadrati è (0+1+4+9+16+25+36+...) in generale è $ Q = {n:nEN e n=n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+(n+1))^2} $
vediamo con n = 0 : ho 0 quindi va bene

allora diciamo che per ipotesi $ n(n+1)(2n+1)/6 $ abbia questa proprietà per tutti gli nEN



se n+1 :$ [(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)]/6 $

$ [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6 = [(n^2 +3n + 2)(2n+3)]/6 = (2n^3 + 3n^2 +6n^2 +6n^2 + 9n +4n +6)/6 = (2n^3 + 3n^2 + 2n(3n + 2) + 3(3n+2))/6 = (2n^3 +3n^2 +(2n+3)*(3n+2))/6 $

poi non so più come continuare (non so nemmeno cosa stavo facendo)

5. non l'ho fatto

p.s.

Q sarebbe un'insieme non so come mai tex me l'ha stampato a video così ( sarebbe Q ={ n: nEN e n=n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+(n+1))^2}

Hai sbagliato assolutamente sezione, i problemi vanno nella sezione adatta del problem solving, inoltre di solito in questo forum si posta un problema per topic.
Un admin sposterà credo, comunque:
1)Il problema non centra niente con la probabilità, chiede qual'è il numero di lanci di un dado che mi assicura che almeno una faccia esca 12 volte. Il caso peggiore che può capitare è che ogni faccia esca 11 volte avendo 6 faccie 11*6=66, al 67 lancio almeno una faccia sarà uscita 12 volte.
2)Va beh, diciamo che può andare.
3)Non capisco molto di quello che hai scritto comunque: $1^2+2^2+3^3+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$
Verifichiamo per $n=1: 1=1$ adesso prendiamo come ipotesi $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ e mostriamo che vale per $n+1$:
$1^2+2^2+3^3+...+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}6=\frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}6=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6$ Che è quello che volevamo.
4)Stessa cosa $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}4$ per n=1 vale, per n+1:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}4+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}4=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}4=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}4$
Comunque il $\LaTeX$ non considera gli spazi all'interno delle formule, appartiene si scrive $n \in \mathbb{N}$.

grazie

p.s.

per il topic in generale non sapevo queste cose, ora starò più attento

ciao e benvenuto , mi diresti a che livello sono gli esercizi che hai postato? Perché mi sembrano davvero semplici (eccetto gli ultimi due dove si arriva con un po' di ragionamento), non penso siano di preparazione alle olimpiadi (o perlomeno alle fasi alte delle olimpiadi)...

Beh sono quesiti base che si fanno con l'induzione, insieme alla somma dei primi dispari, dei primi pari e qualche altra cosina così ^^

domx ha scritto:ciao e benvenuto , mi diresti a che livello sono gli esercizi che hai postato? Perché mi sembrano davvero semplici (eccetto gli ultimi due dove si arriva con un po' di ragionamento), non penso siano di preparazione alle olimpiadi (o perlomeno alle fasi alte delle olimpiadi)...

Fanno parte (direi) di dispense pensate per preparare a Febbraio. Ci sono alcuni esercizi olimpici e altri, come quelli postati, che non si troveranno mai nelle olimpiadi di matematica, ma che servono a qualcuno che non ha mai visto cassetti e induzione a fare pratica su questi due concetti appunto.
Servono fondamentalmente a coloro che hanno fatto bene ad Archimede pur senza avere nessuna base teorica (il chè è la normalità) e vogliono prepararsi un minimo per Febbraio.

beh, io non ho nessuna base teorica per risolvere questo genere di esercizi, li ho risolti intuitivamente...

Francutio non lo vedevo quì da tanto ^^
Comunque oltre che a prepararsi, questi in particolari, cioè le forme chiuse di alcune sommatorie, possono essere molto utili in molti problemi.

Claudio. ha scritto:Francutio non lo vedevo quì da tanto ^^
Comunque oltre che a prepararsi, questi in particolari, cioè le forme chiuse di alcune sommatorie, possono essere molto utili in molti problemi.

ti confesso che le sommatorie non le ho mai capite (o meglio non mi sono mai sforzato di capirle), di solito quando c'è il fatidico sigma maiuscolo vado avanti e cerco una soluzione "a parole", a meno che non sia proprio semplice...
comunque visto che dici che sono utili ora cerco qualcosa su google...

domx ha scritto:beh, io non ho nessuna base teorica per risolvere questo genere di esercizi, li ho risolti intuitivamente...

Ma infatti non è necessaria nessuna base teorica per risolverli, però si possono risolvere utilizzando alcuni concetti, per esercitarsi sull'usare quei concetti.

Il testo in questione è questo

Che senso ha dimostrare per induzione che $ n^3 - n $ è divisibile per 6 quando posso scomporlo in $ n(n+1)(n-1) $ e notare che nel prodotto di tre numeri consecutivi qualsiasi sicuramente compare almeno un fattore 2 e un fattore 3? Serve per impratichirsi con l'induzione che è una strada semplice e funzionale per formalizzare alcune proprietà più complesse sui numeri interi ad esempio. Per questo sono studiati gli esercizi dell'OP, servono ad avvicinarsi a Febbraio, non a passarlo.

ok fancutio , tra l'altro quel libro l'ho anche scaricato da tempo ma l'ho studiato solo a salti...

Ok, ragazzi, avrei bisogno di una piccola delucidazione. Cosa vuol dire il passaggio verifichiamo n=1:1=1?

Homer J Simpson ha scritto:Verifichiamo per n=1:1=1 adesso prendiamo come ipotesi 12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6 e mostriamo che vale per n+1: