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Sia $k\ge1$ un numero naturale. Determinare in funzione di k il numero di interi positivi n conle seguenti proprietà:
(a) in base dieci si scrivono con k cifre, tutte dispari;
(b) sono divisibili per 5, e il quoziente $\frac n5$, scritto in base dieci, ha ancora k cifre, tutte dispari.

Carino

Io proverei a farlo così:
-per i numeri $k$ di 1 sla cifra si può facilmente vedere che è 1,precisamente solo il 5.
Per gli altri numeri si deve analizzare il fatto che non possono cominciare con una cifra minore di 5 (altrimenti il risultato della divisione $\frac{n}{5}$ non avrebbe lo stesso numero di cifre..).Per i numeri $k$ di un qualsiasi numero di cifre quelle iniziali possono quindi essere solo 5,7 o 9.Successivamente dobbiamo affiancargli un numero dispari il tale che quando si va a dividere la prima cifra, l'eventuale resto da associare alla cifra dispari ci faccia di nuovo avere una cifra dispari.
-Se la prima cifra fosse 5 l'eventuale resto sarebbe 0 e le cifre a noi comode per il secondo posto sarebbero così 3,precisamente 5,7,9.
-Se la prima cifra fosse 7 l'eventuale resto sarebbe 2 e le cifre a noi comodeancora 5,7,9.
-Se la prima cifra fosse 9 l'eventuale resto sarebbe 4 e le cifre a noi comode ancora una volta 5,7 e 9.
In conclusione posso affermare che abbiamo 3 scelte per ogni posizione tranne l'ultima che è obbligata con il 5.
Il risultato è quindi $3^{(k-1)}$.

Allora, $ n=10^{k-1}a_k+10^{k-2}a_{k-1}+...+10a_2+a_1 $, con $ a_i $ dispari. $ a_1 $ è ovviamente 5. In generale $ \frac{10^{k-1}a_k}{5} $ deve generare $ 10^{k-1}b_k $, ovvero una cifra moltiplicata per la stessa potenza del $ 10 $: ciò avviene soltanto per $ a_k\ge5 $. Inoltre abbiamo la certezza che per $ a_k $ dispari la cifra $ b_k $ sarà dispari: per un ragionamento induttivo, se $ \frac{10^{k-1}a_k}{5} $ termina con una cifra pari, questa verrà sommata alla successiva ($ b_{k-1} $) che sarà sicuramente dispari. Le cifre dispari $ \ge5 $ sono $ 3 $. I numeri con le proprietà rischieste saranno pertanto $ 3^{k-1} $.

p.s.: dal momento che so che scrivo le dimostrazioni con i piedi, si accettano volentieri consigli/correzioni!

doiug.8 ha scritto:[...] In generale $ \frac{10^{k-1}a_k}{5} $ deve generare $ 10^{k-1}b_k $, ovvero una cifra moltiplicata per la stessa potenza del $ 10 $: ciò avviene soltanto per $ a_k\ge5 $. [...]

Direi che questo potrebbe essere spiegato meglio: cosa vuol dire generare? Quello che sembri dire (anche se, da quello che scrivi dopo, si capisce abbastanza che non è così) è che le cifre del nuovo numero siano quelle del vecchio divise per cinque (cosa che chiaramente non è, anche perchè altrimenti ogni cifra dovrebbe essere multipla di 5...)

Inoltre, $ \displaystyle \frac{10^{k-1}a_k}{5} $ terminerà necessariamente (almeno per $ k \geq 2 $) con una cifra pari, per la buona ragione che è un numero pari, quindi il tuo discorso successivo sembra un po' strano. Inoltre, perchè non ci sono problemi di riporti?
Ed ancora, come stai facendo di preciso l'induzione (sei stato tu a chiedere consigli...)? Mi sembra se non altro che ti manchi il "caso base", quello della cifra più a sinistra, visto che la tua induzione sembra funzionare passando da una cifra a quella alla sua destra. Sarà facile, ma devi almeno dire di aver verificato che il caso base non dia problemi (meglio se l'hai fatto davvero!)

Insomma, visto che le idee per risolvere il problema ci dovrebbero essere, potresti approfittare dell'occasione per provare a scrivere una soluzione con tutti i dettagli, almeno per allenamento.

Allora l'idea era: $ \frac{a_i}{5} $ ha la prima cifra a sinistra sempre dispari (verifico per $ a_i=5,7,9 $ che ho già dimostrato che sono gli unici valori possibili); parto a dividere da $ a _k $, vedo che il resto è sempre pari (questo verrà sommato alla prima cifra di $ \frac{a_{k-1}}{5} $ che è dispari).

p.s.: apprezzo molto l'interesse

Editata la solita cazzata!

doiug.8 ha scritto:tralascio il resto che non mi importa se sia pari o dispari, infatti so che questo verrà sommato alla prima cifra di $ \frac{a_{k-1}}{5} $ (che è dispari).

Calma: ti interessa che il resto sia pari (il che comunque è vero, ed è facile da verificare), perchè ti serve che sommato alla cifra successiva (dispari) dia ancora un risultato dispari.
Diciamo che questo sistema la dimostrazione del fatto che "se tutte le cifre sono 5,7,9, tranne l'ultima, che è un cinque, allora il numero va bene".

Dovresti ancora giustificare un po' meglio il fatto che è necessario che tutte le cifre siano 5,7 o 9, e per far questo seguendo la tua linea di dimostrazione potresti dire qualcosa come: supponiamo ci sia una cifra dispari diversa da 5,7 o 9.
Prendiamo quella che compare più a sinistra nella scrittura decimale di n, diciamo sia $ a_m $. Quando facciamo la divisione $ n / 5 $, otteniamo tutte cifre dispari per gli indici maggiori di m, per lo stesso ragionamento induttivo fatto sopra, mentre la m-esima cifra del quoziente risulta 0 (perchè 1,3 sono minori di 5) più il resto ottenuto al passo precedente della divisione, che sappiamo per induzione essere pari, dunque risulta pari, e questo è contro le ipotesi.

Spero di esserti stato utile!