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ecco il prossimo problema della staffetta, per farmi perdonare dopo il precedente lo metto non difficile cosi possono provarci tutti:
Dato $x>1$, trovare le soluzioni reali dell'equazione
$\displaystyle \frac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}+\frac 1{\sqrt{x-1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x-1}}$

Allora, innanzitutto il dominio è $\mathbb{R} \cap (1,+\infty]$. Chiamo $a=\dfrac{x^2}{x-1}$ e $b=\sqrt{x-1}$. Allora $\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2} = \dfrac{1}{ab}$. Quindi l'uguaglianza iniziale equivale a $a+b+\dfrac{1}{ab} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ab$. Per le $x$ del dominio, sicuramente $a$ e $b$ sono diversi da 0. Allora moltiplico e ottengo $a^2b+ab^2+1 = a+b+a^2b^2$, da cui $a^2b^2-ab^2-a^2b+b+a-1=ab^2(a-1)-b(a-1)(a+1)+(a-1)=$
$=(ab^2-(a+1)b+1)(a-1) = (b-1)(ab-1)(a-1)=0$. Quindi $a=1$, ovvero $x^2 - x + 1=0$ che è impossibile in $\mathbb{R}$, o $b=1$, ovvero $x=2$ che è accettabile, o $ab=1$ ovvero $x^2 = \sqrt{x-1}$. $x^2$ in 1 vale 1 e $\sqrt{x-1}$ in 1 vale 0 e siccome $x^2$ cresce "più velocemente" di $\sqrt{x-1}$, $x^2 > \sqrt{x-1}$ (se volete giustifico meglio questo punto, ma dovrebbe essere chiaro). Quindi $x=2$. Giusto?

io ho fatto diversamente, ponendo $a=\sqrt{x-1}$, e mi è uscito lo stesso risultato, quindi puoi anche porre il prossimo problema