OliForum Matematico

(own) penso sia abbastanza facile quindi lasciatelo per i nuovi:

dati $ n,a,b $ naturali, con $ n=a+b $ e $ a>b>0 $,
1)dimostrare che $ a^k\equiv-b^k $ $ mod n $ se k è dispari;
2)dimostrare che, se n possiede almeno un fattore h coprimo con b, con h diverso da 1 e 2, $ a^k\equiv-b^k $ $ \pmod n $ se e solo se k è dispari.

staffo ha scritto:2)dimostrare che, se n possiede almeno un fattore h coprimo con b, con h diverso da 1 e 2, $ a^k\equiv-b^k $ $ mod n $ se e solo se k è dispari.

Questo è una riformulazione di una vecchia nazionale giapponese

O.o? giuro che lo ho inventato io ieri XD.
una nazionale per sta roba? sono proprio scarsi là allora XD.

va beh, non fa differenza, sempre un problema è =)

$\pmod a$ si scrive $n=a+b\Rightarrow n-b=a$ da cui $(n-b)^k \equiv -b^k \pmod n \Rightarrow (-b)^k \equiv -b^k \pmod n$ abbiamo quindi che se k è dispari vale sempre, se adesso poniamo $k=2k_1$ abbiamo $b^{k_1} \equiv -b^{k_1}$ e questo succede o quando $b \equiv 0 \pmod n$ che va contro l'ipotesi del 2, oppure quando $b\equiv \frac n2$ con n pari, e cioè $b=mn+\frac n2$ e quindi poichè b ha tutti i fattori primi di n tranne al massimo il 2 non rientra tra le ipotesi.