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Domanda: una funzione $f$ derivabile in tutto $\mathbb{R}$ ha la funzione derivata continua?

Riflessioni (quasi dimostrazione): definisco $g(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ per $\forall h\not =0$.
1) La funzione $g$ è una composizione di funzioni continue con denominatore non nullo, quindi è continua.
Quindi $\exists I_{x_0}$ tale che $\forall x\in I_{x_0} |g(x,h)-g(x_0,h)|<\epsilon_0$
2) definizione di derivata in $x$: $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}g(x,h)$ e riscritta con la definizione di limite diventa $\exists I^1_h$ tale che $\forall h\in I^1_h|f'(x)-g(x,h)|<\epsilon_1$
3) stessa cosa del punto 2 in $x_0$: $\exists I^2_h$ tale che $\forall h \in I^2_h |g(x_0,h)-f'(x_0)|<\epsilon_2$
4) $I_h=I^1_h \cap I^2_h$ non è vuoto
5) per fatto 1,2,3 e perché $|a+b+c|\leq|a|+|b|+|c|$ vale che $|g(x,h)-g(x_0,h)+f'(x)-g(x,h)+g(x_0,h)-f'(x_0)|<\epsilon_0+\epsilon_1+\epsilon_2=\epsilon$ e sommando viene che $\exists I_{x_0}$ tale che $\forall x\in I_{x_0}|f'(x)-f'(x_0)|<\epsilon$ che è la definizione di continuità di $f'(x)$

ma non sono convinto della dimostrazione (dato che è completamente inventata da me), qualcuno può gentilmente può dirmi se è vera, se esiste un teorema per questo fatto e/o se ho commesso un'errore con gli intorni?

Non ho tempo per leggere cosa non va, comunque un controesempio è $x^2sin(\frac{1}{x})$

L'errore sa nel passo 1: l'intervallo $I_{x_0}$ dipende anche da $h$ e non solo da $x_0$. Il controesempio l'ha fornito ndp15

Sono perplesso: anche se $I_x$ dipende da $h$ esiste l'intorno non nullo per qualsiasi valore di $h\not = 0$ quindi per quanto sia piccolo $h$ c'è sempre un intorno di $x_0$ che soddisfa la condizione. Quindi quella relazione vale per qualche $x$ "molto vicina" a $x_0$, altrimenti cadrebbe la continuità di $g(x,h)$.

E' vero il controesempio funziona....

paga92ren: tu scegli un intervallo $I_{x_0}$ in funzione di $h$ ed $\epsilon$ (quindi fissi $h$ e fissi $\epsilon$), prendi una $x\in I_{x_0}$ e scegli un intervallo $I_h$ che dipende da$x$ e da $\epsilon$. Se questo intervallo $I_h$ non contiene il valore di $h$ che avevi fissato all'inizio per scegliere $I_{x_0}$, sei fottuto, per dirla elegantemente.

Claudio.: una funzione è definita in un punto anche se non è continua in quel punto, ad esempio, la funzione segno che fa 1 sui positivi, -1 sui negativi e 0 in 0, non è continua in 0, ma ha un suo valore. Allo stesso modo, per una funzione può esistere la derivata in $0$, ma questa può non coincidere con i limiti destro e sinistro delle derivate nei punti vicini (vedi l'esempio di prima).

EvaristeG ha scritto:Allo stesso modo, per una funzione può esistere la derivata in $0$, ma questa può non coincidere con i limiti destro e sinistro delle derivate nei punti vicini (vedi l'esempio di prima).

In realtà (esercizio facile usando lagrange), se $f'(0) = a $ e $f'(1)=b$ allora se la funzione è derivabile in tutto i'intervallo $[0,1]$ allora assume sicuramente tutti i valori in $[a,b]$ che, detto in altri termini, la derviata di funzioni derivabili ovunque in $\mathbb{R}$ manda connessi in connessi.

Da questo si può vedere (altro es. facile) che se esistono limiti delle derivate da destra e sinistra questi coincidono e coincidono col valore della derivata in quel punto.

L'unico modo per avere discontinuità è quindi che non esista il limite della derivata nè da destra nè da sinistra.