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data la propria bella astrometria (posizioni delle stelle) di un ammasso e gran parte del cielo attorno, come calcolo il centro dell'ammasso?

Definiscici centro.

Bella domanda!
In questo caso direi centro geometrico, ovvero, supposto che l'ammasso abbia una simmetria sferica, il centro proiettato sulla volta celeste di tale distribuzione. Tecnicamente il punto di massima densita' stellare, che all'incirca dovrebbe essere il baricentro.

siano $x_i$ la coordinata della i-esima stella
Per quanti abbiano pensato che l a risposta e' banalmente $B_c=\frac{1}{N}\sum_* x_i$, mi spiace, ma quello non da' il centro dell'ammasso

la domanda in realta' e' di quanto sbaglia quel conto.

Sono incuriosito da questo thread, nel senso che mi domando dove tu voglia arrivare...
Allora, quello che intendeva fph era di specificare matematicamente o semanticamente in maniera univoca che tipo di centro stai cercando: se intendi il baricentro (o meglio, il centro di massa) è una cosa; se dici il "punto di massima densità stellare", è un'altra.. (il baricentro di un guscio di piombo sferico è il centro della sfera, ma non è il punto di maggiore densità...).
Inoltre,

siano xi la coordinata della i-esima stella

..Penso che ti serva anche una $ y_i $ e una $ z_i $
Diciamo che, dato il tuo sistema di riferimento (origine e 3 assi cartesiani $ x $, $ y $ e $ z $), e date $ n $ stelle, definiamo la posizione dell'i-esima stella col vettore $ \mathbf r_i = (x_i , y_i , z_i) $
Sia poi $ m_i $ la massa dell' i-esima stella
allora il centro di massa dell'ammasso avrà coordinata
$ \mathbf R = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i} $
...che è la definizione di centro di massa per un insieme discreto di n punti materiali (i centri delle nostre stelle).. ora... c'è qualcosa che mi sfugge o stavi chiedendo questo?..
ciao

1) vera la tua distinzione su baricentro e massima densita'. ma e' pure vero che glia ammassi stellari hanno un profilo di densita' a simmetria sferica con decadimento radiale: massimo al centro e decresce allontanandosi. quindi alla fine coincidono.
2) con $x_i$ intendevo non la coordinata x. in effetti dovevo scrivere $(x_i)$ o $\bf{x}_i$. Cmq cambia poco dato che alla fine ogni coordinata viene elaborata singolarmente
3) le masse non si conoscono bene e non sono facili da ricavare subito (luminosita' e massa sono legate solo in sequenza principale, ma spesso hai a che fare soprattutto con stelle del ramo gigante che hanno circa la stessa massa). cmq possiamo supporre che per ogni intervallo di massa le stelle abbiano distribuzione sferica ergo porre $m_i=cost$ non introduce un grosso errore
4)su che sommi? qui bisogna stare estremamente attenti all'esatta definizione di baricentro e ai dati che hai a disposizione

aggiungo io la risposta all'ultima mia domanda

jim ha scritto:Sia poi $ m_i $ la massa dell' i-esima stella
allora il centro di massa dell'ammasso avrà coordinata
$ \mathbf R = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i} $
...che è la definizione di centro di massa per un insieme discreto di n punti materiali (i centri delle nostre stelle).. ora... c'è qualcosa che mi sfugge o stavi chiedendo questo?..
ciao

SkZ ha scritto:4)su che sommi? qui bisogna stare estremamente attenti all'esatta definizione di baricentro e ai dati che hai a disposizione

ovvero la tua formula in questo caso e' sbagliata o imprecisa
La definizione di baricentro dice che dato un insieme A con ogni elemento $a$ dotato di posizione $x_a$ e di un peso $m_a$ (chiamiamolo massa?), le coordinate del baricentro saranno
$$x_B=\frac{\displaystyle\sum_{a\in A} m x}{\displaystyle\sum_{a\in A} m}$$
e il suo peso e' pari alla somma dei pesi degli elementi

Dove sta l'inghippo? che non conosci A e non puoi usare solo lui! Puoi solo usare un insieme X tale che sia $I=A\cap X$, allora $Card(I)\gg Card(A\setminus I)$
Il vantaggio? e' che $X\setminus I$ e' parte di un insieme F (campo) che si puo' supporre avere una certa uniformita' e omogeneita'.
Potendo solo sommare su X, di quanto sbagli?

guardate che e' un calcolo semplice semplice
banalotto, ma l'ho postato perche' l'ho ritenuto interessante.

Ciao SkZ. Non metto in dubbio che il problema sia interessante, e possa anche essere semplice, una volta compreso..
A essere sincero, però, temo di non avere certe conoscenze "tecniche" in astronomia indispensabili per capire esattamente il nocciolo della questione; ossia:
1) nel primo post parli di "astronometria". Io pensavo che volesse dire: dato un gruppo di n stelle nello spazio tridimensionale, e stabilito un sistema cartesiano xyz, si conoscono le posizioni di ciascuna delle n stelle (x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), ..., (x_n;y_n;z_n). Invece temo non sia così, da ciò che dici...
Probabilmente tu intendi un problema che può porsi un fisico che lavora in un osservatorio astronomico: le stelle le vediamo sulla volta celeste, e non le possiamo identificare in coordinate catesiane, metteremo delle coordinate che ci daranno la "latitudine" (quanti gradi sopra l'orizzonte) e la longitudine (NSWE). Poi con il red shift non siamo anche in grado di calcolare la distanza dalla terra? (reminescenze di qualche libro di divulgazione di astrofisica...)
2)

cmq possiamo supporre che per ogni intervallo di massa le stelle abbiano distribuzione sferica

cosa intendi con "intervallo di massa"..? ...Comunque mi pare di capire che possiamo supporre che tutte le stelle del nostro ammasso abbiano uguale massa M, giusto?
3)

Dove sta l'inghippo? che non conosci A

ora, perchè questa frase non è in contraddizione con:

data la propria bella astrometria (posizioni delle stelle) di un ammasso

?
e ancora:

Puoi solo usare un insieme X tale che sia I=A∩X, allora Card(I)≫Card(A∖I)
Il vantaggio? e' che X∖I e' parte di un insieme F (campo) che si puo' supporre avere una certa uniformita' e omogeneita'.

Perchè questo?..
In pratica.. non ho capito quali siano le nostre limitazioni "strumentali"!.. Se però mi dici che anche un totale ignorante in astronomia ha i dati sufficienti per comprendere e risolvere il problema, ti credo sulla parola, e mi rassegno al fatto che quattro anni di medicina mi hanno davvero rincoglionito.. Volevo solo essere sicuro che tu non stessi dando per scontato qualcosa che è banale per un astronomo ma non banale per un profano.
(tra l'altro, OT, lavori al La Silla?)
Ciao!
Edo

1) per astrometria si intende conoscere la posizione sulla volta celeste. la distanza e' piu' laboriosa da calcolare (il redshift puo' solo darti la velocita' radiale della stella, non la sua distanza. la distanza di un ammasso si calcola di solito da quanto e' attenuata la luce dell'ammasso corretti gli arrossamenti).
cmq la presenza o meno di piu' coordiante cambia poco.
2) ovvero preso ogni intervallo $[m;m+\Delta m]$ possiamo ritenere che la distribuzione sia sferica e radiale, ergo possiamo associare ad ogni stella lo stesso peso.
3) In effetti si ha la astrometria di una zona sufficiente grande del cielo che include l'ammasso. E' difficile appunto isolare i singoli membri. Non avevo specificato adeguatamente

In realta' e' piu' un problema "geometrico". uso le stelle per presentarlo solo perche' mi si e' presentato in questo ambito
In pratica e' che hai le posizioni degli elementi un insieme discreto $X$ che contiene "quasi-tutto" $A$, ma anche elementi di un altro insieme $F$. sai che $f$ ha distribuzione uniforme e omogenea, mentre $A$ ha distribuzione radiale a simmetria sferica isotropa piu' concentrata al centro.
trovare il (bari)centro di $A$


PS: faccio il dottorato a Concepcion

se c'e' qualcosa di non chiaro, chiedete.
altrimenti a sto punto posto la soluzione. giusto per non lasciarlo non finito.

Continua a non essere chiaro. Prova a riformularlo parlando di punti in $\mathbb R^3$ anziché di stelle e definendo tutto quello che serve.

Non e' un problema in $\mathbb{R}^3$ ma in $\mathbb{R}^2$, visto che non conosco la distanza e cmq mi interessa il baricentro proiettato.

a insiemi possiamo dire:
dato $C\subset\mathbb{R}^2$ la cui chiusura e' un compatto, sappiamo che $C=X\cup Y$ ove $X\subset A$ con $A$ insieme di punti a distribuzione radiale isotropa gaussianica e $Card(X)\gg Card(A\setminus X)$ e $Y\subset F$ insieme di punti a distribuzione uniforme, costante e conosciuta (o conoscibile).
Inoltre $A\cap F=\emptyset$.

Trovare il baricentro dei punti di $X$ avendo le coordinate dei punti di $C$ ma non potendo discernere tra chi appartiene o meno a $X$.

vabbe', scrivo la risposta

Sia $B_Z=\frac{\sum_{z\in Z}x_z}{N_Z}$ baricentro dell'insieme $Z$ con $N_Z$ il numero dei suoi elementi. Notazione degli insiemi data sopra

$$N_CB_C=\sum_{z\in C}x=N_XB_X+N_YB_Y$$

$$B_X=\frac{\sum_{c\in C}x_c-N_YB_Y}{N_X}=\frac{\sum_{c\in C}x_c-N_CB_Y+(N_C-N_Y)B_Y}{N_C-N_Y}=\frac{\sum_{c\in C}(x_c-B_Y)}{N_C-N_Y}+B_Y$$

ora un paio di considerazioni in base alle ipotesi:

• $B_X\approx B_A$ dato che comprende quasi tutti gli elementi
• $B_Y$ e' circa il baricentro $x_0$ dell'area scelta dato che $F$ ha una distribuzione a densita' costante
• $N_Y$ e' facilmente calcolabile in un'altra parte di F esterna a $C$ e pari estensione visto che ci saranno essenzialmente solo elementi di $F$ e non di $A$. Dipende essenzialmente solo dall'area della regione scelta e poniamolo uguale a $N_f$ (numero di elementi del campo)

Ergo il centro dell'ammasso si calcola iterativamente con
$$B_A=\frac{\sum_{c\in C}(x_c-x_0)}{N_C-N_f}+x_0 $$