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Facendo riferimento alle definizioni di numero quadrato e triangolare, ed impostando l'uguaglianza, si ottiene:
$ n^2 = \frac{m \cdot (m+1)}{2} $
Una successione di passaggi algebrici porta a:
\begin{eqnarray*}
n^2 & = & \frac{m \cdot (m+1)}{2} \\
n^2 & = & \frac{m^2+m}{2} \\
2n^2 - (m^2+m) & = & 0 \\
2n^2 - \left( m^2+m+\frac{1}{4} \right) & = & -\frac{1}{4} \\
2n^2 - \left( m+\frac{1}{2} \right)^2 & = & -\frac{1}{4} \\
8n^2 - (2m+1)^2 & = & -1 \\
t^2 - 8n^2 & = & 1
\end{eqnarray*}
dove si è posto infine $ t := 2m+1 $.
Le soluzioni sono dunque tutte e sole le coppie $(t,n)$ dell'equazione di Pell cui sopra con il vincolo $t$ dispari.
È possibile, volendo, porre $ s:= 2n $ e far diventare l'equazione $ t^2 - 2s^2 = 1$, riconducedosi alla più classica delle eequazioni di Pell, con tuttavia il vincolo supplementare della parità di $s$.
Come ben noto dalla teoria, esistono infinite coppie di numeri interi positivi che soddisfano l'equazione, ed esistono formule ricorsive e formule chiuse che permettono di determinare queste coppie al variare di un parametro.

Per risolvere $ t^2 - 2s^2 = 1$, esplicitiamo innanzitutto lo sviluppo in frazione continua di $\sqrt{2}$. Si tratta di un risultato piuttosto noto: la parte intera è pari a $1$, mentre gli elementi successivi sono tutti pari a $2$; esso può essere scritto come $[1; 2, 2, 2, \ldots]$, oppure:
$$ 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} $$
Poichè lo sviluppo si stabilizza subito (a $2$), consideriamo il primo convergente, pari a $\frac{3}{2}$. Si verifica immediatamente che $(t,s)=(3,2)$ è effettivamente una soluzione, infatti $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1 $.
Poichè $s=2n$, abbiamo che $n=1$, $n^2=1$, e abbiamo trovato il primo numero sia triangolare che quadrato. Ricaviamo ora le soluzioni successive.
Se $(t_0,s_0)$ rappresenta la soluzione più piccola non banale, considerando l'anello $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, in questo caso $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, tutte le altre soluzioni $(t,s)$ sono date da $t+s\sqrt{2}=(t_0+s_0\sqrt{2})^i$, ovvero dai coefficienti degli elementi $1$ e $\sqrt{2}$.

Le soluzioni seguenti si ottengono pertanto come:

\hline $i$ & $(3+2\sqrt{2})^i$ & $t$ & $s$ & $m$ & $n$ & $n^2$ \\
\hline $1$ & $(3+2\sqrt{2})$ & $3$ & $2$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
\hline $2$ & $(17+12\sqrt{2})$ & $17$ & $12$ & $8$ & $6$ & $36$ \\
\hline $3$ & $(99+70\sqrt{2})$ & $99$ & $70$ & $49$ & $35$ & $1225$ \\
\hline $4$ & $(577+408\sqrt{2})$ & $577$ & $408$ & $288$ & $204$ & $41616$ \\
\hline $5$ & $(3363+2378\sqrt{2})$ & $3363$ & $2378$ & $1681$ & $1189$ & $1413721$ \\
\hline $6$ & $(19601+13860\sqrt{2})$ & $19601$ & $13860$ & $9800$ & $6930$ & $48024900$ \\

e ancora:

\hline $i$ & $t$ & $s$ & $m$ & $n$ & $n^2$ \\
\hline $7$ & $114243$ & $80782$ & $57121$ & $40391$ & $1 \mbox{ } 631 \mbox{ } 432 \mbox{ } 881$ \\
\hline $8$ & $665857$ & $470832$ & $332928$ & $235416$ & $55 \mbox{ } 420 \mbox{ } 693 \mbox{ } 056$ \\
\hline $9$ & $3880899$ & $2744210$ & $1940449$ & $1372105$ & $1 \mbox{ } 882 \mbox{ } 672 \mbox{ } 131 \mbox{ } 025$ \\
\hline $10$ & $22619537$ & $15994428$ & $11309768$ & $7997214$ & $63 \mbox{ } 955 \mbox{ } 431 \mbox{ } 761 \mbox{ } 796$ \\

(purtroppo qui non funziona l'ambiente tabular).

In generale:
$ \begin{eqnarray*} (t_{i-1} + s_{i-1}\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) & = & (t_i + s_i\sqrt{2}) \\ 3 t_{i-1} + 2\sqrt{2} t_{i-1} + 3\sqrt{2} s_{i-1} + 4 s_{i-1} & = & (t_i + s_i\sqrt{2}) \\ 3 t_{i-1} + 4 s_{i-1} + (2 t_{i-1} + 3 s_{i-1}\sqrt{2}) & = & (t_i + s_i\sqrt{2}) \\ \end{eqnarray*} $
da cui, ricorsivamente:
\begin{eqnarray*}
t_i & = & 3 t_{i-1} + 4 s_{i-1} \\
s_i & = & 2 t_{i-1} + 3 s_{i-1}
\end{eqnarray*}
Osserviamo anche che, al crescere di $i$, il rapporto tra $t$ ed $s$ tende a $\sqrt{2}$. Questo può essere dimostrato nel seguente modo: se consideriamo la quantità $(3-2\sqrt{2})$, identica alla base delle potenze precedenti ma con il segno meno invece che il segno più, e che pertanto possiamo definire \textit{coniugata}, le sue potenze sono ancora le potenze precedenti con il segno cambiato: ovvero, la potenza $i$-esima della coniugata è pari alla coniugata della potenza $i$-esima; la dimostrazione è banale. Tuttavia, a differenza dell'altro caso, il valore $(3-2\sqrt{2})$ è minore di $1$, e pertanto $ \lim_{i \rightarrow +\infty} (3-2\sqrt{2})^i = \lim_{i \rightarrow +\infty} (t_i - s_i\sqrt{2}) = 0 $; si potrà quindi scrivere, per ogni $i$, $t_i = k_i s_i$, con $ \lim_{i \rightarrow +\infty} k_i = \sqrt{2} $. Possiamo anche esprimere la relazione, ponendo $ l_i := k_i - \sqrt{2} $, come $ t_i = \sqrt{2} s_i + l_i s_i $, con $ \lim_{i \rightarrow +\infty} l_i = 0 $, in modo tale da avere una quantità che tende a zero.
In questo modo possiamo dimostrare quanto vale il rapporto tra due numeri sia triangolari che quadrati successivi.
Infatti, osserviamo che, poichè $ n = \frac{s}{2} $, allora $ n_i^2 = \frac{s_i^2}{4} $. Vediamo come esprimere $s_i$ unicamente in funzione di $s_{i-1}$ (e non di $t_{i-1}$). Dalle equazioni:
\begin{eqnarray*}
s_i & = & 2 t_{i-1} + 3 s_{i-1} \\
t_i & = & \sqrt{2} s_i + l_i s_i
\end{eqnarray*}
otteniamo:
\begin{eqnarray*}
s_i & = & 2 \sqrt{2} s_{i-1} + 2 l_i s_{i-1} + 3 s_{i-1} \\
s_i & = & s_{i-1} (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)
\end{eqnarray*}
da cui:
\begin{eqnarray*}
s_i^2 & = & s_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)^2 \\
4n_i^2 & = & 4n_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)^2 \\
n_i^2 & = & n_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_i)^2
\end{eqnarray*}
Abbiamo detto che, al tendere di $i$ all'infinito, la quantità di $l_i$ tende a $0$. Dalla definizione di limite di una successione, posto un qualsiasi margine di errore come accettabile, esisterà un $i$ sufficientemente grande tale per cui per esso e per tutti i successivi si possa scrivere, approssimando nel margine di errore richiesto:
$$ n_i^2 = n_{i-1}^2 (3 + 2\sqrt{2})^2 $$
pertanto il limite a cui tende tale rapporto è $$ (3 + 2\sqrt{2})^2 = (17 + 12\sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})^4 $$

Definiamo ora, cambiando un po' la notazione, $ a_{1,j} := n_i $, dove gli indici $i$ e $j$ sono corrispondenti.

Chiamiamo poi $ a_{2,j} := \frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}} - \frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}} $

Vorrei provare che:

$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,{j-1}}}{a_{2,j}} = (1+\sqrt{2})^4 $$

visto che "sperimentalmente", calcolandolo rispetto ai primi valori sia triangolari che quadrati, si ottiene che il limite è lo stesso del rapporto tra due numeri successivi che possiedono questa proprietà.

Si ha:

$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,j}}{a_{2,j-1}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}}-\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}}
{\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}-\frac{a_{1,j-1}}{a_{1,j-2}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{a_{j+1}}{a_{j}}-\frac{a_{j}}{a_{j-1}}}
{\frac{a_{j}}{a_{j-1}}-\frac{a_{j-1}}{a_{j-2}}} := \frac{1}{L_2} $$
Poichè $ a_j = \frac{s_j^2}{4} $, possiamo andare a sostituire, semplificando implicitamente il $4$ che comparirebbe ovunque a denominatore:
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{s_{j+1}^2}{s_{j}^2}-\frac{s_{j}^2}{s_{j-1}^2}}
{\frac{s_{j}^2}{s_{j-1}^2}-\frac{s_{j-1}^2}{s_{j-2}^2}} $$
Sarà ora:
\begin{eqnarray*}
s_{j+1}^2 & = & s_j^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j+1})^2 \\
& = & s_{j-1}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j+1})^2
\cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2 \\
& = & s_{j-2}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j+1})^2
\cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2
\cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j-1})^2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
s_j^2 & = & s_{j-1}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2 \\
& = & s_{j-2}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_j)^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j-1})^2
\end{eqnarray*}
e infine:
$$ s_{j-1}^2 = s_{j-2}^2 \cdot (3 + 2\sqrt{2} + 2 l_{j-1})^2 $$
Esplicitiamo anche i rapporti che ci interessano:
\begin{eqnarray*}
\frac{s_{j+1}^2}{s_j^2} & = & (3 + 2 \sqrt{2} +2 l_{j+1})^2 \\
\frac{s_j^2}{s_{j-1}^2} & = & (3 + 2 \sqrt{2} +2 l_j)^2 \\
\frac{s_{j-1}^2}{s_{j-2}^2} & = & (3 + 2 \sqrt{2} +2 l_{j-1})^2 \\
\end{eqnarray*}
In funzione di essi, è ora possibile riscrivere $ 1 / L_2 $:
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { (3 + 2\sqrt{2} + 2l_{j+1})^2 - (3 + 2\sqrt{2} + 2l_j)^2 }
{ (3 + 2\sqrt{2} + 2l_j)^2 - (3 + 2\sqrt{2} + 2l_{j-1})^2 } $$
Trasformiamo ora la differenza di quadrati nel prodotto notevole:
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { (6 + 4\sqrt{2} + 2(l_j + l_{j+1})) \cdot 2(l_j - l_{j+1})}
{ (6 + 4\sqrt{2} + 2(l_{j-1} + l_j)) \cdot 2(l_{j-1} - l_j)} $$
Poiché la successione $l$ tende a zero per $j$ che tende all'infinito, il contributo dato dai termini che la contegono alle somme a primo fattore (sia a numeratore che a denominatore) è trascurabile rispetto alle altre quantità, e può essere pertanto non considerato nel calcolo del limite. Allora: \\
$$ \frac{1}{L_2} = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac{(6 + 4\sqrt{2}) \cdot 2(l_j - l_{j+1})}{(6 + 4\sqrt{2}) \cdot 2(l_{j-1} - l_j)}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{l_j - l_{j+1}}{l_{j-1} - l_j} $$
da cui:
$$ L_2 = \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{l_{j-1} - l_j}{l_j - l_{j+1}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac{(k_{j-1}-\sqrt{2}) - (k_j-\sqrt{2})}{(k_j-\sqrt{2}) - (k_{j+1}-\sqrt{2})}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{k_{j-1} - k_j}{k_j - k_{j+1}} $$
Poiché $ k = t/s $:
$$ L_2 = \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac {\frac{t_{j-1}}{s_{j-1}} - \frac{t_j}{s_j}}
{\frac{t_j}{s_j} - \frac{t_{j+1}}{s_{j+1}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { \frac{t_{j-1}}{s_{j-1}}
-\frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}} }
{ \frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}}
-\frac{3t_{j}+4s_{j}}{2t_{j}+3s_{j}} }
= \lim_{j \rightarrow +\infty}
\frac { \frac{t_{j-1}}{s_{j-1}}
-\frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}} }
{ \frac{3t_{j-1}+4s_{j-1}}{2t_{j-1}+3s_{j-1}}
-\frac{17t_{j-1}+24s_{j-1}}{12t_{j-1}+17s_{j-1}}}
$$

E qui mi pianto perché, nonostante tutto, mi continua ad uscire una forma del tipo $ \frac{0}{0} $.

$ $

$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac{a_{2,j-1}}{a_{2,j}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}-\frac{a_{1,j-1}}{a_{1,j-2}}}
{\frac{a_{1,j+1}}{a_{1,j}}-\frac{a_{1,j}}{a_{1,j-1}}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}
-\frac{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}{\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2}}
{\frac{\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2}{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}
-\frac{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}} $$
dove abbiamo implicitamente semplificato il $32$ ovunque. \\
Facendo denominatore comune sia sopra che sotto:
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac{\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}
-\frac{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}{\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2}}
{\frac{\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2}{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}
-\frac{\alpha^{j}+\alpha^{j}-2}{\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2}}
= \lim_{j \rightarrow +\infty} \frac
{\frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)
- (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)^2}
{(\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}}
{\frac
{(\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)
-(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)^2}
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)}} $$
Scriviamo questa quantità in una maniera più comprensibile:
{\footnotesize
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty}
\left( \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)
- (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)^2}
{(\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)
- (\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)^2}
\cdot \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)}
{(\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}
\right) $$
}
Per prima cosa nel fattore di destra si ha una semplificazione che porta a:
{\footnotesize
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty}
\left( \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2) \cdot (\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)
- (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)^2}
{(\alpha^{j+1}+\alpha^{-1-j}-2) \cdot (\alpha^{j-1}+\alpha^{1-j}-2)
- (\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)^2}
\cdot \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)}{(\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}
\right) $$
}
Calcolando esplicitamente il fattore di sinistra si ottiene:
{\footnotesize
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \left( \frac
{ \alpha^2 - 2\alpha^j + \alpha^{-2} - 2\alpha^{-j} - 2\alpha^{j-2}
+2\alpha^{2-j} - 2 + 4\alpha^{j-1} + 4\alpha^{1-j} }
{ \alpha^2 - 2\alpha^{j+1} + \alpha^{-2} - 2\alpha^{-1-j}
- 2\alpha^{j-1} + 2\alpha^{1-j} - 2 + 4\alpha^{j} + 4\alpha^{-j} }
\cdot \frac
{(\alpha^{j}+\alpha^{-j}-2)}{(\alpha^{j-2}+\alpha^{2-j}-2)}
\right) $$
}
A questo punto, in entrambi i fattori possiamo, essendoci il limite, passare a considerare solo gli elementi che dipendono da $j$ e nei quali la stessa quantità ad esponente compare con segno positivo, essendo gli altri trascurabili nei confronti di essi rispetto alle operazioni che vengono compiute.
$$ \lim_{j \rightarrow +\infty} \left( \frac
{ -2\alpha^j - 2\alpha^{j-2} + 4\alpha^{j-1} }
{ -2\alpha^{j+1} - 2\alpha^{j-1} + 4\alpha^{j} }
\cdot \frac {\alpha^j}{\alpha^{j-2}} \right)
= (\alpha^{-1} \cdot \alpha^2) = \alpha $$
osservando semplicemente che, nel fattore a sinistra, la quantità a numeratore può essere raccolta a denominatore lasciando appunto fuori un $\alpha$.