OliForum Matematico

allora...
own (scovato da un vecchio quaderno, non so se è proprio own)
Detto formalmente: sia $A_m:= \{ x: x\leq m, (x,m) \in \mathbb{N}^2 \}$. Si definisce percorso lattice uno qualsiasi degli insiemi $L$ delle coppie contenuto a $A_m\times A_n$ tali che se esiste in $L$ una coppia $(a,b)$, allora in $L$ esiste anche o la coppia $(a,b+1)$ o la coppia $(a+1,b)$ [ ogni insieme $L$ contiene $(0,0)$ e $(m,n)$, che è l'unica coppia che non rispetta le condizioni dette ( se no $L$ non sarebbe contenuto in $A_m\times A_n$ )] . Determinare il numero degli insiemi lattice contenuto in $A_m\times A_n$ in relazione ad $m$ e $n$.

Bonus: generalizzare al caso $A_m \times A_n \times A_l$, con ipotesi uguali a quelle dette sopra (questo so farlo ma mi esce un orrore...).
bonus 2: generalizzare ad un generico numero di dimensioni (questo è un glorioso mistero, credo, non riesco a leggere i miei vecchi appunti...).

se qualcuno sa dirlo in modo più semplice, sarei molto contento, magari non si capisce nemmeno cosa dico...

Forse non ci ho capito una mazza, ma non chiede semplicemente quanti percorsi "crescenti" esistono che vadano da (0,0) a (m,n) passando solo per punti a coordinate intere?

*crescenti = sali o vai a destra, non puoi scendere o andare a sinistra

esatto, solo che non volevo ricevere le bacchettate di qualche formalista... Dai, a 2 dimensioni è facile, poi si complica...

a me non sembra così difficile anche in 3,.. dimensioni: Ma magari c'è qualche errore

No, infatti è giusto (mi sembra) solo che non ho ancora familiarità con questo tipo di idee (tipo scomporre il problema sui vari piani, o robe del genere) e quindi mi era sembrato complicato...

l'idea è che devi fare m, n mosse in ognuna delle due direzioni, quindi cambia solo l'ordine in cui devi farle.. quindi ogni percorso è in bigezione con una parola binaria con m 1 e n 0.
in k dimensioni hai la stessa cosa..

Una piccola nota tecnica: lattice path si traduce "percorso a coordinate intere".

Scusate, non è un intervento matematico il mio... ma non potete scrivere "lattice". A meno che non sia qualcosa che abbia veramente a che fare con la gomma. Letteralmente è reticolo. Lattice path potrebbe diventare "percorso reticolare", "percorso discreto"; più che a coordinate intere, è sensato pensare a coordinate discrete.

Ani-sama ha scritto:Scusate, non è un intervento matematico il mio... ma non potete scrivere "lattice". A meno che non sia qualcosa che abbia veramente a che fare con la gomma. Letteralmente è reticolo. Lattice path potrebbe diventare "percorso reticolare", "percorso discreto"; più che a coordinate intere, è sensato pensare a coordinate discrete.

Beh però un reticolo discreto potrebbe anche essere esagonale (tipo come negli interi di Eisenstein) o qualcos'altro, qui si sta parlando di un reticolo molto particolare... Dovrei vedere sulla letteratura quale sia la nomenclatura più diffusa.

PS: non ti dico qual è stata la reazione di un mio amico quando gli ho detto che scrivevo una relazione col $ \LaTeX $