OliForum Matematico

E' molto facile, ma non riuscivo ad inventarne di migliori :

Marco e Sara giocano a testa o croce. Partono tutti e due con un punto. Ad ogni T, Marco guadagna un punto, ad ogni C, Sara raddoppia i suoi punti (perchè Marco è galantuomo e vuole lasciar vincere la fanciulla);
-trovare un metodo per calcolare al n-esimo tentativo la probabilità di vittoria di Marco
-verificare il metodo per n=100.

Buon lavoro (qualcuno poi può postarlo come si deve in staffetta che rischio di fare pasticci )

Bon, rispondiamo...
allora, si ha che

$C+T = n$ e si deve avere che $2^{C} < T$. Ma essendo $T = n-C$ si ha semplicemente che si deve avere che $2^C +C < n$ che è vera in generale per $C=\lfloor \log_{2}{n} \rfloor $ e in particolare per $n=100$ si ha che $C=6$.

La probabilità che in generale dopo $n$ tiri sia in vantaggio il galantuomo è pari a

$\sum_{b=0}^{\lfloor \log_{2}{n} \rfloor}\frac{\binom{n}{b}}{2^n}$ in quanto $2^n$ sono i casi possibili e $ \sum_{b=0}^{\lfloor \log_{2}{n} \rfloor +1}\binom{n}{b}$ sono i casi favorevoli, equivalenti al numero di modi in cui si può scrivere una parola binaria di $n$ numeri contenente al massimo $\lfloor \log_{2}{n} \rfloor +1$ numeri $1$

Aspetto conferme per il prossimo problema

una piccola nota: nella sommatoria 2^n sarebbe più carino se lo mettessi sotto alla sommatoria, proprio per separare casi favorevoli e casi totali;
comunque a meno di clamorose smentite dovrebbe essere giusto, anche se il logaritmo non capisco da dove lo hai tirato fuori in quel modo.... (a me era venuto lo stesso risultato, solo che il logaritmo non lo usavo...

EDIT: $ 2^c+c<2048 $ secondo i tuoi conti sarebbe $ 2^{11}+11<2048 $, il che è falso; semplicemente non usare il logaritmo; bastava dire che dovevi valutare la c massima per cui era ancora valida la disuguaglianza

solo 2 cose:
1)come già fatto notare da staffo non sempre $c=[\log_2n]$, però possiamo dire che c ha solo 2 possibili valori da controllare, $c=[\log_2n]$ o $c=[\log_2n]-1$.
2)per essere proprio precisi il tizio parte con 1 gettone, e quindi la disuguaglianza giusta sarebbe $2^c<n-c+1$ (commento pedante, lo so).
Detto ciò mi pare che tu possa andare col prossimo

Vi ringrazio, ci penso e arriva al massimo dopodomani