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Sono di fronte ad un problema con un integrale doppio: calcolare il volume di un ellissoide di equazione $ \frac{x^2} {a^2} +\frac{y^2} {b^2}+\frac{z^2} {c^2}=1 $
Se mi voglio ricondurre alle coordinate polari (poichè il dominio di integrazione è un ellisse) scrivo la trasformazione T:(r,$ \theta $)$ \mapsto $(x,y) con:
$ x=a cos\theta $
$ y=b sin\theta $
$ r=\sqrt{x^2+y^2} $
e ne cerco il jacobiano... Ma in tal caso il raggio è funzione della sola $ \theta $ quindi mi chiedo se c'è un modo immediato per calcolare la derivata parziale di x e y rispetto a r($ \theta $)? Infatti se non conosco queste non posso trovare il jacobiano della trasformazione T...aiuto...

le coordinate polari 3D sono del tip
$x=r\cos{\phi} \sin{\theta}$
$y=r\sin{\phi} \sin{\theta}$
$z=r\cos{\theta}$

quelle che metti tu sono parzialmente quelle cilindriche
$x=r\cos{\phi}$
$x=r\sin{\phi}$
$z=z$

nel tuo caso e' piu' una parametrizzazione. cmq posto $x'=\frac xa$ $y'=\frac yb$ $z'=\frac zc$ ti riporti ad una sfera unitaria

Si, ho capito, ma io non voglio risolvere l'esercizio con le coordinate polari sferiche: io voglio trovare un cambiamento di variabili per riscrivere il dominio di integrazione ossia l'ellisse contenuta nel piano $ z=0 $ in modo semplice e successivamente calcolare il volume come un integrale doppio della funzione di due variabili $ z=f(x,y) $ che trovo esplicitando la z dall'equazione dell'ellisse...Ti ringrazio per quello che hai postato ma francamente non so di che farmene delle coordinate polari 3D...(non so se si è capito il procedimento che voglio intraprendere...caso mai chiedetemi di rispiegarlo)

Hai visto come si calcola il volume di una sfera? Lo stesso trucco dovrebbe funzionare. In alternativa, puoi ricondurti a una sfera con un cambio di variabile molto più bovino...