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Trovare le soluzioni intere positive:
$ x^y=y^{17}-1 $
(senza usare Mihailescu)

$ x^y=y^{17}-1 $

Ragiono mod 4.

1)$ y\equiv 0 $-->$ y^{17}-1\equiv -1 $ e y è pari, ma allora x elevato a un numero pari non potrebbe mai essere congruo a -1.
2)$ y\equiv 1 $-->$ y^{17}-1\equiv 0 $ . Lo analizzo sotto.
3)$ y\equiv 2 $-->$ y^{17}-1\equiv -1 $---> impossibile, per lo stesso motivo del caso 1)
4)$ y\equiv 3 $-->$ y^{17}-1\equiv 2 $---> Vuol dire che $ x $ è pari, e divisibile per al massimo 2. Questo è valido solo per $ x\equiv 2 $ e $ y=1 $, che dà come unica soluzione $ (0,1) $

Analizzo il caso 2):
$ y^{17} \equiv 1 \mod 4 $ e $ x\equiv 0 \mod 4 $. Allora $ x=2k $ con k intero (per y>1) e riscrivo l'equazione come:

$ 2^y*k^y=(y-1)(y^{16}+y^{15}+y^{14}....+y+1) $. (con y>1)

chiamo $ (y^{16}+y^{15}+y^{14}....+y+1)=M $. Se analizzo M mod 4, tenendo conto che $ y\equiv 1 $, ottengo che $ M\equiv y\equiv 1 \mod 4 $.
Ma allora per forza $ 2^y|(y-1) $ e ciò non accade per nessuna $ y>1 $.

Mi rimane da analizzare il caso per y=1, che mi dà per prova diretta la soluzione (0,1).



L'unica soluzione SAREBBE quindi $ (0,1) $, ma siccome il problema chiede soluzioni intere positive, non ci sono soluzioni.

ok, mi sembra tutto corretto puoi procedere con il prossimo problema

Problema 93 qui : viewtopic.php?f=15&t=15667