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Problema 93. Dimostrare che la frazione $ \frac {21n+4}{14n+3} $ è irriducibile per ogni numero naturale $ n $.

[OT]wow, questa è (prei)storia![/OT]
(per chi non lo sapesse, è il problema 1 delle imo del '59)

ma_go ha scritto:[OT]wow, questa è (prei)storia![/OT]
(per chi non lo sapesse, è il problema 1 delle imo del '59)

Infatti è piuttosto abbordabile per tutti! Forza novizi xD (quale sono io )

ma_go ha scritto:(per chi non lo sapesse, è il problema 1 delle imo del '59)

Oh mio dio..

La tesi vuol dire che quel valore non è mai intero per $ n \in \mathbb N $.

$ \displaystyle \frac {21 n + 4}{7n+1}= \frac {14n + 3 + 7n+1}{14n+3 }= 1 +\frac {7n+1}{14n+3} $ .

Se fosse intero il numeratore dovrebbe essere $ \geq $ del denominatore: $ \displaystyle 7n+1 \geq 14n+3 \iff n \leq -\frac {2}{7} $ che va conto l'ipotesi $ n \in \mathbb N $.

amatrix92 ha scritto:La tesi vuol dire che quel valore non è mai intero

Rileggi il testo

amatrix92 ha scritto:La tesi vuol dire che quel valore non è mai intero per $ n \in \mathbb N $.

$ \displaystyle \frac {21 n + 4}{7n+1}= \frac {14n + 3 + 7n+1}{14n+3 }= 1 +\frac {7n+1}{14n+3} $ .

Se fosse intero il numeratore dovrebbe essere $ \geq $ del denominatore: $ \displaystyle 7n+1 \geq 14n+3 \iff n \leq -\frac {2}{7} $ che va conto l'ipotesi $ n \in \mathbb N $.

Achtung: non è necessario che sia intero, numeratore e denominatore devono essere coprimi!

, quando si fa le cose di fretta. Provo a farmi perdonare: nella soluzione uso più volte il fatto : $ gcd( n ; m ) = gcd ( n-am ; m ) $ con a intero.

$ gcd(21n+4 ; 14n+3) = gcd ( 21n+4 -1(14n+3) ; 14 n +3 ) = gcd ( 7n+1 ; 14n+3 ) = gcd (7n+1 ; 14n+3 -(7n+1))= $

$ = gcd (7n+1 ; 7n+2 ) = gcd ( 7n+1 ; 1 ) = 1 $

amatrix92 ha scritto: , quando si fa le cose di fretta. Provo a farmi perdonare: nella soluzione uso più volte il fatto : $ gcd( n ; m ) = gcd ( n-am ; m ) $ con a intero.

$ gcd(21n+4 ; 14n+3) = gcd ( 21n+4 -1(14n+3) ; 14 n +3 ) = gcd ( 7n+1 ; 14n+3 ) = gcd (7n+1 ; 14n+3 -(7n+1))= $

$ = gcd (7n+1 ; 7n+2 ) = gcd ( 7n+1 ; 1 ) = 1 $

Correct! vai pure con il prossimo.