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Visto che questo a suo tempo fu risolto abbastanza in fretta, propongo una generalizzazione.

Sia $ S $ un sottoinsieme infinito dei naturali. Diciamo che un polinomio è meraviglioso se tutti i suoi monomi hanno grado appartenente a $ S $. Sia $ p\in\mathbb{R}[x] $ un polinomio a coefficienti reali. Dimostrare che esiste $ q\in\mathbb{R}[x] $ diverso dal polinomio nullo tale $ pq $ è meraviglioso.

Va bè, nessuno risponde.. Allora provo io
Bon (citazione alla dario2994, te la copio perché tu copi il mio modo di bere),
per il Teorema di Van Der Waerden, essendo S infinito, esiste una progressione aritmetica arbitrariamente lunga di elementi di $ S $. Siano $(a,a+k,a+2k,a+3k,.. )$ questi tantissimi elementi di $ S $. Per il problema 38 esiste un polinomio $r$ tale che $pr$ è raffinato , quindi $pr$ ha tutti i monomi multipli di $k$. Prendendo $q(x)=x^ar(x)$ e prendendo la progressione aritmetica sufficientemente lunga, ci meravigliamo del meraviglioso prodotto

(in realtà basterebbe una progressione aritmetica lunga $deg(p)$, quindi ci basta che $|S|\ge W(2,deg(p))$ )

Federiko ha scritto:[...]per il Teorema di Van Der Waerden, essendo S infinito, esiste una progressione aritmetica arbitrariamente lunga di elementi di $ S $.

trovami una progressione aritmetica di lunghezza 3 in $\{1,2,4,8,16,...\}$
il teorema di van der waerden dice che c'è una progressione aritmetica in $S$ o nel complementare di $S$.

accidenti! va bè, ci penserò domani.. sorry

Va bene, ci ho pensato ancora ma non sono riuscito ad aggiustare la soluzione elegante. Quindi procedo con quella bovina
Notazioni:
$$p(x)=\sum_{i=0}^d a_ix^i \ \ ;\ \ q(x)=\sum_{i=0}^{f}b_ix^i$$
Scelgo $f=deg(q)$ tale che $\displaystyle |\{ x\in S , 0\le x\le f\}|\ge d+1 $. Esiste perché $S$ è infinito.
$$p(x)q(x)=\sum_{i=0}^{d+f}c_ix^i$$
con
$$c_i=\sum_{k=0}^d a_k b_{i-k}$$
(consideriamo per evitare scocciature che i coefficienti con pedice negativo o maggiore del grado sono zero).
Devo imporre $c_i=0 \forall i\in (\{0,1,2,..., d+f\}\setminus S)$. Questo è un sistema omogeneo di equazioni lineari con incognite i $b_i$. Abbiamo quindi $f+1$ incognite e un numero di equazioni $\le f+d+1-(d+1)=f$ , per scelta di $f$. Il numero di equazioni è strettamente minore del numero delle incognite; il sistema è omogeneo, quindi per non so quale teorema (forse Rouché-Capelli) c'è una soluzione non triviale.

Va benone, proponi pure il prossimo.

Qui il nuovo problema