OliForum Matematico

Provare che $$\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i^2+b_i^2} \geq \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)^2+\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^2}$$ indipendentemente dalla scelta dei valori $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ e $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ e con $n \in \mathbb{Z^+}$

Molto simpatica! Una via poco contosa è notare che

Enigma,hai tolto il bello del problema!!(comunque si nota dal titolo del post quello che hai detto )

matty96 ha scritto:Enigma,hai tolto il bello del problema!!(comunque si nota dal titolo del post quello che hai detto )

E il bello del problema sarebbero i contazzi? Avresti preferito farla come "applichiamo 31 volte Cauchy-Schwarz+5 volte riarrangiamento+un paio di Karamata e abbiamo la tesi"?

non hai capito....intendevo che non dovevi far notare quella cosa, perchè da la esce una soluzione con pochi conti(cioè una soluzione elegante ed olimpica).

Dato che nessuno ci prova metto un piccolo hint: Però,giusto per completare un pò l'esercizio,indicare quando si ottiene l'uguaglianza

propongo 2 soluzioni, una mia e una che parte dall'idea di enigma:
1)elevo al quadrato e rimane da dimostrare che:
$\displaystyle 2\sum (\sqrt{(a_i^2+b_i^2)(a_j^2+b_j^2)})\ge 2\sum a_ia_j+2\sum b_ib_j$. (chiaramente in ogni sommatoria è sottinteso i diverso da j)
Ma $\sqrt{(a_i^2+b_i^2)(a_j^2+b_j^2)}=\sqrt{(a_ia_j+b_ib_j)^2+(a_ib_j-a_jb_i)^2}\ge a_ia_j+b_ib_j$
Quindi le sommatorie si elidono termine a termine e ho finito

2) vedendo il tutto nel piano cartesiano il LHS rappresenta una serie di segmenti consecutivi che parte da 0,0 e termina in $\sum a_i$,$\sum b_i$, quindi la tesi è vera per la disuguaglianza triangolare.

Se volete più dettagli chiedete pure, ma credo che sforzarsi di capire una soluzione un po' stringata possa essere anche utile

La tua soluzione mi sembra corretta.Quella di enigma.....è corretta pure,d'altronde anche io l'ho fatta come enigma.(all'inizio io avevo sbagliato a fare il grafico ,poi ho visto la soluzione originale,e a parte il grafico,l'idea era giusta)

Io ho pensato di usare CS $n\sum a_i^2 \geq (\sum a_i)^2$ e poi dividere per $n$: $\frac{\sum \sqrt{a_i^2+b_i^2}}{n}\geq \sqrt{\frac{\sum a_i^2+b_i^2}{n}}$ che è vera per Jensen.
E' giusta?

l'ultima disuguaglianza che hai scritto è QM-AM ma col verso sbagliato...