OliForum Matematico

Bon.... dato che è apparso da poco sul forum e ne ho trovato una dimostrazione strafiga (e quindi quasi banalmente segata ) mi pare il caso di proporlo... tra l'altro mi pare che non sia mai stato dimostrato in questo forum
Dato $n$ naturale, sia $ X=(x_1,x_2,\dots x_n) $. Definisco $ \displaystyle\forall\ 1\le i\le n:\ S_i(X)=\sum_{sym}x_1x_2\dots x_i $.
Sia $ P\in \mathbb{C}[X] $ un polinomio simmetrico, dimostrate che esiste un polinomio $ Q\in\mathbb{C}[X] $ tale che: $ P(X)=Q(S_1(X),S_2(X),\dots ,S_n(X)) $

p.s. la notazione è abbastanza personale... spero si capisca, sennò basta chiedere

in realtà, mi pare che sia stata usata (o perlomeno invocata) anche la versione con $\mathbb{Z}$ al posto di $\mathbb{C}$.
la tua dimostrazione funziona anche per l'enunciato più forte?

comunque, dopo le dimostrazioni, ci sono altri possibili rilanci..

Uhm... la mia funziona per $\mathbb{Q}$ ma per $\mathbb{N}$ ho paura di no... almeno non banalmente. Ci sarebbe anche l'unicità come rilancio, ma la mia non funziona manco per quello quindi per ora non l'ho messo... penso a come aggiustare ste 2 cose... voi intanto pensate al problema

Bueno ho rivisto la mia dimostrazione e pare fungere, con qualche accortezza in più, anche in $\mathbb{Z}$... la prima accortezza è ridefinire le simmetriche fondamentali:
$ \displaystyle S_k=\frac{\sum_{sym}x_1x_2\cdots x_k}{k!(n-k)!} $
Per quanto riguarda l'unicità... ho dimostrato anche quella... ma insomma alla fine centra ben poco con il teorema in sè
Ci sono altri rilanci intriganti da fare?

il primo rilancio è "dimostra che funziona con gli interi anche con le funzioni simmetriche che avevi definito all'inizio"

Ma è banalmente falso... come diavolo esprimo ab in funzione di ab+ab e a+b... rimanendo negli interi

Edit: mi sa che abbiamo concezioni differenti delle somme simmetriche... per me in 3 variabili: $ \sum_{sym} ab=ab+bc+ca+ba+cb+ac $ mentre forse tu assumi $ =ab+bc+ca $

dario2994 ha scritto:Ma è banalmente falso... come diavolo esprimo ab in funzione di ab+ab e a+b... rimanendo negli interi

Edit: mi sa che abbiamo concezioni differenti delle somme simmetriche... per me in 3 variabili: $ \sum_{sym} ab=ab+bc+ca+ba+cb+ac $ mentre forse tu assumi $ =ab+bc+ca $

esatto. la tua è "formalmente" più corretta (se interpreti il "simmetrico" in un certo modo), la "mia" (che credo sia abbastanza universalmente accettata) è più consona alla sezione in cui stiamo scrivendo: prova a pensare a come scriveresti il polinomio che ha $a,b,c$ come radici..

Un altro possibile rilancio è il seguente: se abbiamo un polinomio $ p(x_1,\cdots ,x_n) $ in n variabili e per ogni scelta dei valori delle variabili $ a_1,\cdots, a_n $ e per ogni permutazione $ \sigma $ su n elementi si ha che $ p(a_1,\cdots, a_n )=p(a_{\sigma (1)},\cdots , a_{\sigma (n)}) $, ove l'uguaglianza è intesa come uguaglianza tra i valori assunti dal polinomo, allora il polinomio è simmetrico nelle variabili $ x_1,\cdots , x_n $.

Altro rilancio (ma è praticamente lo stesso di prima): dato un polinomio $ p(x_1,\cdots, x_n) $ le n variabili si dividono in classi di equivalenza secondo la simmetria (ovvero la simmetria è una relazione di equivalenza); qui due variabili $ x_i,x_j $ sono simmetriche se dando dei valori qualsiasi a tutte le variabili e calcolando il valore del polinomio otteniamo una valore che è lo stesso che si ottiene con gli stessi valori delle variabili ma scambiando quelli di $ x_i $ e $ x_j $ (questa definizione di simmetria è poi equivalente a quella che usa il polinomio non come funzione ma come scrittura formale).
Inoltre una volta stabilite le classi di equivalenza si possono prendere i polinomi simmetrici elementari di ogni classe e riscrivere il polinomio (che è simmetrico come scrittura formale rispetto ad ogni classe di equivalenza) come polinomio nei polinomi simmetrici elementari delle varie classi di equivalenza.

Dopo settimane, forse ho trovato una dimostrazione (e formalizzarla è stato davvero un casino!).

Tutte le sommatorie sono da intendersi simmetriche nelle loro variabili.

Siano $a_i$ le n variabili, $\alpha_i$ i loro n esponenti, sia k il numero di variabili che compaiono nel polinomio preso in considerazione.
Sia inoltre $ S_i=\sum a_1\cdots a_i $ l'i-esimo polinomio simmetrico elementare.
Considero le somme simmetriche su n variabili del tipo $ \sum a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2}\dots a_k^{\alpha_k} $ con $ k\leq n $ che chiamerò "somme omogenee". Chiaramente a partire da queste riesco a scrivere ogni altro polinomio non omogeneo.

Date due somme simmetriche dico che la prima è meno omogenea della seconda se valgono le seguenti condizioni (le successioni degli esponenti $\{\alpha_i\}$ e $\{\beta_i\}$ sono debolmente decrescenti):
$$\alpha_1 \geq \beta_1, \alpha_1+\alpha_2 \geq \beta_1+\beta_2, \dots, \alpha_1+\dots +\alpha_{n-1} \geq \beta_1+\dots +\beta_{n-1}, \alpha_1+\dots +\alpha_n = \beta_1+\dots +\beta_n$$
(chiaramente deve valere almeno una disuguaglianza stretta, altrimenti le somme sono identiche).

Ragiono per induzione sull'omogeneità dei fattori: suppongo di saper costruire tutte le somme omogenee di grado inferiore o più omogenee del polinomio preso in considerazione e dimostro che, a partire da quelle, riesco a ricavare la mia somma omogenea di partenza.

Passo base: so scrivere tutto il grado 1 (c'è solo la somma delle singole variabili).

Passo induttivo: scrivo la somma omogenea di partenza come
$$\sum a_1^{\alpha_1}\dots a_k^{\alpha_k}=S_k^{\alpha_k} S_{k-1}^{\alpha_{k-1}-\alpha_k}\cdots S_1^{\alpha_1-\alpha_2}-P(a_1,\dots ,a_n)$$ dove P è un polinomio simmetrico negli $a_i$ che devo dimostrare essere costituito da termini più omogenei o di grado inferiore al polinomio di partenza.

La scelta degli esponenti sarà (si spera ) chiarita dal ragionamento successivo: in ogni caso sto scegliendo gli esponenti degli $S_i$ in modo che, per ogni $ i\leq k $, $S_i$ compaia $\alpha_i-\alpha_{i-1}$ volte. Così, ad esempio (quattro variabili):
$\sum a^7b^3c = (abc+abd+acd+bcd)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2(a+b+c+d)^4 -Q(a,b,c,d)$
per un certo Q simmetrico nelle sue quattro variabili (qui ci sarebbe la questione della molteplicità dei termini, ma si vede subito che funziona anche nell'altro caso).

La somma che mi interessa è ottenibile massimizzando il grado di ogni singola variabile (ricordo che sto scegliendo gli $\alpha_i$ in modo che siano in successione debolmente decrescente): infatti per costruirla scelgo sempre $a_1$, scelgo $a_2$ ovunque tranne che negli $S_1$, e in generale scelgo $a_i$ in $S_n, S_{n-1},\dots , S_{i}$ e ragionando analogamente permutando gli $a_i$ ottengo ogni altro termine della somma omogenea di partenza. Ogni scelta differente di un monomio in un qualsiasi fattore del prodotto porta quindi ad una diminuzione del grado di almeno un $a_r$ e porta all'aumento di quello di almeno un $a_s$ con $r<s$, quindi il monomio risultante (e tutte le permutazioni delle sue variabili) è più omogeneo di quello di partenza. Posso quindi scrivere il polinomio omogeneo di partenza come un prodotto di polinomi simmetrici elementari a cui sottraggo sempre somme simmetriche più omogenee o di grado inferiore, quindi l'ipotesi induttiva è verificata (si spera di nuovo! ).

Direi che funge, identica alla mia
Non lo hai scritto esplicitamente, ma la dimostrazione funziona senza problemi anche in $\mathbb Z$