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Se esce testa ottengo un gettone, se esce croce ne ottengo due. Vincerò il gioco se arriverò (non importa dopo quanti lanci) a possedere esattamente 100 gettoni. Dire se la probabilità di vincere è maggiore, uguale o minore di $ \frac{2}{3} $.

i) Quanto è il valore esatto?
ii) E se i gettoni che vinco sono 2 e 3?

Non avrò mai 100 gettoni se e solo se ne ho 99 e ne vinco 2.
Quindi $p(100)=1-\frac{1}{2}p(99)$ e lo stesso ragionamento vale per ogni numero: $p(1)=\frac{1}{2}$ e $p(n+1)=1-\frac{1}{2}p(n)$ da cui $p(n)=\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n+\frac{2}{3}$
Per il secondo rilancio ci devo ancora pensare...

2) stessa cosa ma ottengo che $p(n)=1-p(n-1)-\frac{1}{2}p(n-2)$ con $p(1)=0$ e $p(2)=\frac{1}{2}$.
Pongo $p(n)=q(n)+c$ da cui $q(n+2)=-q(n+1)-\frac{1}{2}q(n)$ con $c=\frac{2}{5}$ ($q(1)=-\frac{2}{5}$ e $q(2)=-\frac{1}{10}$).
Risolvo $x^2+x+\frac{1}{2}=0$ da cui $x_{1,2}=\frac{-1\pm i}{2}$ e impongo $q(n)=Ax_1^n+Bx_2^n$.
Ricavo da $q(1), q(2)$ $A=-\frac{2-i}{10}$ e $B=-\frac{2+i}{10}$ quindi:
$p(n)=\frac{i-2}{10}\left( \frac{i-1}{2} \right)^{n-1}-\frac{2+i}{10}\left( -\frac{1+i}{2} \right) ^{n-1} +\frac{2}{5}$ che (incredibile ma vero) è razionale per ogni $n$ intero positivo.