OliForum Matematico

Ciao a tutti,
mi chiamo Riccardo e frequento il primo anno del liceo scientifico Newton di Chivasso (TO).
Ho scoperto le Olimpiadi qualche mese fa, grazie ai Giochi di Archimede (75 p, 4° nel biennio), ma soprattutto alle gare di febbraio (dove ho fatto 25 miseri punti... ).
Dopo la (secondo me) pessima gara di Febbraio, ho deciso di iscrivermi qua, sperando di migliorare...
Naturalmente la Matematica non è la mia unica passione. Mi piace anche leggere -fantasy, avventura e gialli-, giocare a basket e fare programmini con JavaScript e/o VisualBasic...
Spero di trovarmi bene in questo forum...

Ancora un saluto!

Benvenuto!
non ti preoccupare per le provinciali! hai ancora 4 anni per rifarti e per migliorare!
e poi per uno di prima (che non conosce le olimpiadi) fare 25 punti, non è male!

cmq, voi del Newton, dovete vincere a Cesenatico! Rosinaldo (aka lorenzo M.) ci tiene!

Grazie del benvenuto!
Spero anche io che il Newton si classifichi bene a Cesenatico (anche perchè sono arrivati primi, venerdì scorso)...

E poi mi sono iscritto qua proprio per fare meglio il prossimo anno... Ora mi sto allenando sugli Archimede del biennio.

Ciao e benvenuto, secondo me tu prometti bene ...

Grazie...

Comunque mi consigliate qualcosa per cominciare a risolvere problemi tipo quelli proposti sul forum? Voglio dire, cosa mi serve sapere (almeno le cose base)? (sia di aritmetica che di geometria...).
Ve ne sarei infinitamente grato

Drago96 ha scritto:Grazie...

Comunque mi consigliate qualcosa per cominciare a risolvere problemi tipo quelli proposti sul forum? Voglio dire, cosa mi serve sapere (almeno le cose base)? (sia di aritmetica che di geometria...).
Ve ne sarei infinitamente grato

uhm, dovrebbe andare bene questo libro: http://www.subalpinamathesis.unito.it/p ... ni/q01.pdf
poi se vuoi approfondire meglio ci sono le schede olimpiche di gobbino (è un libro che va ordinato direttamente all'UMI), ma secondo me, almeno agli inizi, ti troverai meglio con quello che ti ho linkato

Grazie mille! Lo sto leggendo con molta attenzione...
L'unica cosa che non ho capito molto è l'induzione...

Drago96 ha scritto:Grazie mille! Lo sto leggendo con molta attenzione...
L'unica cosa che non ho capito molto è l'induzione...

In pratica tu dimostri che se una certa proprietà vale per tutti i numeri naturali fino a un numero $ n $, questa proprietà vale anche su $ n+1 $, in questo modo la estendi su tutti i numeri successivi ad $ n $


Provo a spiegartela sulla prima dimostrazione delle provinciali (dimostrare che $ 3^n $ ha cifra delle decine pari per ogni $ n\in N $

Bisogna prima indicare la base dell'induzione, ovvero dimostrare che la proprietà vale per i primi numeri naturali
$ 3^0=1 $, $ 3^1=3 $, $ 3^2=9 $, $ 3^3=27 $. Questi hanno tutti cifra delle decine pari. (Avrei potuto anche fermarmi prima)
Ora vediamo come si trova in una moltiplicazione per 3 la cifra delle decine:
diciamo che
$ d(k) $ è la cifra delle decine di $ k $,
$ u(k) $ è la cifra delle unità di $ k $.

Ora affermiamo che la proprietà (in questo caso avere la cifra delle decine pari) vale fino ad un numero $ 3^n $.
La cifra delle decine di $ 3^{n+1} $ si trova in questo modo:
$ d(3^{n+1})=3d(3^n)+d(3u(3^n)) $
Detto in parole: "La cifra delle decine di $ 3^{n+1} $ si trova moltiplicando per $ 3 $ la cifra delle decine di $ 3^n $, e addizionando il riporto (ovvero la cifra delle decine del triplo della cifra delle unità di $ 3^n $).

Notiamo che abbiamo affermato che $ d(3^n) $ è pari (valendo la proprietà fino a $ 3^n $), perciò anche $ 3d(3^n) $ sarà pari.

Ora analizziamo tutti i possibili valori di $ u(3^n) $:
Una potenza di 3 non può essere divisibile nè per 2, nè per 5: perciò è da ecludere che la cifra delle unità sia 2,4,5,6,8 o 0.
Gli unici valori possibili per $ u(3^n) $ sono 1,3,7,9. Pertanto i valori del riporto potranno essere solo 0 (nel caso di 1 e 3) o 2 (nel caso di 7 e 9)

Avendo dimostrato che sia $ 3d(3^n) $ che $ d(3u(3^n)) $ sono pari, necessariamente $ d(3^{n+1}) $ sarà pari, perchè somma di due numeri pari.
c.v.d.


Può sembrare contorto, ma in realtà è abbastanza semplice

Qundi la mia ipotesi è: "la proprietà vale fino a n"; se riesco a dimostrare che vale anche per n+1, allora vale sempre, giusto???
Penso di aver capito... Grazie mille!

Drago96 ha scritto:Qundi la mia ipotesi è: "la proprietà vale fino a n"; se riesco a dimostrare che vale anche per n+1, allora vale sempre, giusto???

Certamente