OliForum Matematico

Trovare tutti i possibili valori di

$ \displaystyle S = \frac{a}{a+b+d} + \frac {b}{a+b+c} + \frac {c}{b+c+d} +\frac {d}{a+c+d} $


con $ a $,$ b $,$ c $ ,$ d > 0 $

$$1<S<2$$
Detto $k=\sum a$
1) $S>1$ se pongo $a=b=x \;\; c=d=\frac{1}{x}$ allora $S=\frac{2x^2}{2x^2+1}+\frac{2}{x^2+2}$ che tende a 1 per $x$ che tende a $+\infty$
$S=\sum \frac{a}{k-c}>\sum\frac{a}{k}=\frac{\sum a}{k}=\frac{k}{k}=1$
2) $S<2$ se pongo $a=c=x \;\; b=d=\frac{1}{x}$ allora $S=\frac{2x^2}{x^2+2}+\frac{2}{2x^2+1}$ che tende a 2 per $x$ che dende a $+\infty$
Considero la somma ciclica nelle variabili $a$ e $c$:
$\sum \frac{a}{k-c}\sum (k-c)\leq 2\sum a$ per chebycheff (le due serie sono ordinate allo stesso modo) quindi $\sum \frac{a}{k-a}\leq \frac{2(a+c)}{2k-c-a}=\frac{4k}{2k-c-a}-2$
Quindi $S\leq 4k(\frac{1}{k+b+d}+\frac{1}{k+a+c})-4=4k\frac{3k}{k^2+k^2+(a+c)(b+d)}-4<\frac{12k^2}{2k^2}-4=6-4=2$

Bravo!! E' corretta anche se io avrei aggiunto che S è continua, poichè se non lo fosse salta la dimostrazione.

Per il secondo punto senza scomodare Mr. Chebycheff si poteva dire che $ \sum \frac{a}{k-c} < \sum \frac {a}{k-c-d} = 2 $